如圖所示之 C 型斷面，對通過其形心之 X 軸轉動時，斷面慣性矩（Moment of inertia）I 之大小為下列何者？

本題考點

組合斷面的慣性矩。C 型斷面對稱於 X 軸，可用「外框矩形減去缺口矩形」的負面積法，以矩形對形心軸慣性矩 I = b × h × h × h / 12 直接相減求得。

正解理由

依題圖，C 型斷面外框寬 100 mm、總高 100 mm + 100 mm = 200 mm；右側開口的缺口寬 80 mm、高 80 mm + 80 mm = 160 mm，因此腹板厚與上下翼板厚都是 100 − 80 = 20 mm。上下兩半各為 100 mm 與 80 mm，斷面對 X 軸上下對稱，形心就在 X 軸上，外框矩形與缺口矩形的形心也都在 X 軸上，相減時不需要平行軸修正。外框矩形 I1 = 100 × 200 × 200 × 200 / 12 = 66666666.67 mm⁴；

缺口矩形 I2 = 80 × 160 × 160 × 160 / 12 = 27306666.67 mm⁴；C 型斷面 I = I1 − I2 = 39360000 mm⁴，即 3.936×10⁷ mm⁴，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   6.667×10⁷ mm⁴ 不符。這是外框 100 mm × 200 mm 實心矩形的慣性矩 66666666.67 mm⁴，沒有扣除右側缺口；C 型斷面中間是空的，要再減去 80 mm × 160 mm 缺口的慣性矩，才是 3.936×10⁷ mm⁴。

2. (B)

   3.936×10⁷ mm⁴ 符合。外框慣性矩減去缺口慣性矩，66666666.67 − 27306666.67 = 39360000 mm⁴。

3. (C)

   2.731×10⁷ mm⁴ 不符。這是缺口 80 mm × 160 mm 矩形本身的慣性矩 27306666.67 mm⁴，是要被扣掉的部分，不是 C 型斷面的慣性矩；正確值是外框減去它之後的 3.936×10⁷ mm⁴。

4. (D)

   1.344×10⁷ mm⁴ 不符。此值小於正確值 3.936×10⁷ mm⁴，與外框減缺口的結果不一致，不是本斷面對 X 軸的慣性矩。

演算步驟

1. ① 尺寸：外框高 h1 = 100 mm + 100 mm = 200 mm，寬 b1 = 100 mm；缺口高 h2 = 80 mm + 80 mm = 160 mm，寬 b2 = 80 mm；壁厚 = 100 mm − 80 mm = 20 mm。
2. ② 外框矩形：I1 = b1 × h1 × h1 × h1 / 12 = 100 mm × 200 mm × 200 mm × 200 mm / 12 = 66666666.67 mm⁴。
3. ③ 缺口矩形：I2 = b2 × h2 × h2 × h2 / 12 = 80 mm × 160 mm × 160 mm × 160 mm / 12 = 27306666.67 mm⁴。
4. ④ C 型斷面：I = I1 − I2 = 66666666.67 mm⁴ − 27306666.67 mm⁴ = 39360000 mm⁴ = 3.936×10⁷ mm⁴。

記憶點