下圖的門形構架，梁為剛體（EI=∞），若忽略構件的軸向變形時，當柱的 EI 值不變，但柱高由 h 增為 2 h 時，則頂層在相同外力下，其側向位移將會增加為原先的多少倍？

本題考點

梁為剛體（EI=∞）的門形構架受頂部水平力時，柱頂與柱底都不能轉動，單柱側向勁度為 12EI/h³；兩柱並聯後，頂層側向位移與柱高的三次方成正比。

正解理由

依題圖所示，兩根柱的柱底為固定端，柱頂與剛性梁相接。梁的 EI 為無窮大，梁本身不會彎曲，柱頂因此只能隨梁一起水平平移、不能轉動。這種「兩端都不轉動、兩端之間發生相對側移 Δ」的柱，其柱端剪力 V = 12EIΔ/h³，所以單柱的側向勁度 k = V/Δ = 12EI/h³。題目又說忽略軸向變形，剛性梁把兩根柱頂綁成同一個側移量，兩根柱等於兩根並聯的彈簧，總勁度相加：K = 12EI/h³ + 12EI/h³ = 24EI/h³。

頂層側向位移 Δ = P/K = Ph³/(24EI)。柱高由 h 改為 2h、EI 與外力 P 都不變時，Δ' = P(2h)³/(24EI) = 8Ph³/(24EI)，兩者相除 Δ'/Δ = 2×2×2 = 8，側向位移變成原先的 8 倍，故選 D。

逐項排除

1. (A)

   2 倍：不符合題目所問。柱高加倍時，位移放大的倍數取決於勁度式中 h 的冪次；本題勁度與 h³ 成反比，放大倍數是 2 的三次方 8 倍，2 倍遠小於正確值。

2. (B)

   4 倍：不符合題目所問。4 倍同樣低於正確值 8 倍；柱的側向變形由彎曲控制，勁度中的柱高是三次方，位移要放大到 8 倍才對。

3. (C)

   6 倍：不符合題目所問。柱高加倍時，側移倍數必為 2 的某個整數次方，6 倍不在這個序列中；依兩端不轉動柱的勁度式，正確值為 8 倍。

4. (D)

   8 倍：符合題目所問。勁度 24EI/h³ 與 h³ 成反比，同一外力下位移與 h³ 成正比，(2h)³/h³ = 8。

演算步驟

1. 單柱側向勁度（柱頂、柱底均不轉動）：k = 12EI/h³（單位：力/長度，如 kN/m）
2. 兩柱並聯總勁度：K = 12EI/h³ + 12EI/h³ = 24EI/h³（kN/m）
3. 原側向位移：Δ = P/K = Ph³/(24EI)（kN ÷ kN/m = m）
4. 柱高改為 2h：Δ' = P(2h)³/(24EI) = 8Ph³/(24EI)（m）
5. 位移倍數：Δ'/Δ = (2h)³/h³ = 2×2×2 = 8（m/m，無因次）

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