圖(a)所示懸臂梁在自由端承受 P 的集中載重，梁的斷面分別選用正方形斷面以及圓形斷面，如圖(b) 所示。當使用相同材料，且兩者的斷面積相等時，正方形斷面梁的最大變位為圓形斷面梁的多少倍？

本題考點

懸臂梁自由端受集中載重時的最大變位公式 δ = PL³/(3EI)，以及「斷面積相等」條件下，正方形與圓形斷面慣性矩 I 的比較。

正解理由

依題圖(a)，懸臂梁 A 端固定、B 端自由，P 作用在自由端，最大變位發生在 B 點，δ = PL³/(3EI)。兩根梁的 P、L 與材料彈性係數 E 都相同，所以最大變位只與慣性矩 I 成反比：δ方/δ圓 = I圓/I方。設正方形邊長 a、圓形半徑 r，面積相等得 a² = πr²。正方形 I方 = a⁴/12 = (πr²)²/12 = π²r⁴/12；圓形 I圓 = πr⁴/4。相除 I圓/I方 = (π/4)/(π²/12) = 3/π = 0.955。正方形梁的慣性矩較大、變位較小，是圓形梁的 0.955 倍，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   1.047：等於 π/3 = 3.14159/3 = 1.047，是「圓形梁變位 ÷ 正方形梁變位」，比值方向倒過來了；題目問的是正方形為圓形的多少倍，應取 I圓/I方 而不是 I方/I圓。

2. (B)

   0.955：正解。變位與 I 成反比，3/π = 0.955，正方形變位較小，數值小於 1 也符合「同面積下正方形較勁」的直覺。

3. (C)

   0.846：等於 6/(4√π) = 0.846，這是兩者「最大彎曲應力」的比值（下一題的答案），由斷面模數 S = I/c 決定；本題問變位，取決於慣性矩 I，兩個量不能混用。

4. (D)

   1.182：等於 4√π/6 = 1.182，是最大應力比的倒數，量（應力而非變位）與比值方向兩處都不符。

演算步驟

1. ① 公式：δmax = PL³/(3EI)，P、L、E 相同 → δ方/δ圓 = I圓/I方。
2. ② 面積相等：a² = πr²（長度²）。
3. ③ I方 = a⁴/12 = π²r⁴/12（長度⁴）；I圓 = πr⁴/4（長度⁴）。
4. ④ δ方/δ圓 = (π/4)/(π²/12) = 12/(4π) = 3/π = 3/3.14159 = 0.955。

記憶點