如圖所示之 4 個結構，柱的材料相同，梁為剛體。若欲使 4 個結構的頂部均產生 1 單位水平位移時，則何者所需施加之外力最大？ Pc Pd Pa Pb

本題考點

剛性梁門型剛架的側向勁度，柱底固定、柱頂不能轉動時，每根柱的側向勁度為 12EI/h³，比較不同柱高與柱撓曲剛度對所需水平力的影響。

正解理由

依題圖所示，四個結構都是兩根柱、柱底固定、上方為剛體梁，柱頂在側移時不會轉動，每根柱相當於兩端固定、一端側向平移的構件，側向勁度 k = 12EI/h³。結構總勁度為兩根柱相加，所需水平力 P = k_總 × 1 單位位移。依題圖讀取：(a) 柱高 3 m、EI；(b) 柱高 3 m、2EI；(c) 柱高 4.5 m、EI；(d) 柱高 4.5 m、2EI。梁跨度 3 m 或 4.5 m 不影響結果，因為梁是剛體，不參與變形。

代入得 P_a = 0.888889 EI、P_b = 1.777778 EI、P_c = 0.263374 EI、P_d = 0.526749 EI（EI 以 kN·m² 計，所需力單位為 kN），最大者為 P_b，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   P_a：柱高與 (b) 相同，但柱撓曲剛度只有 EI，勁度只有 (b) 的一半，所需外力較小。

2. (B)

   P_b：柱高最短（3 m）且柱撓曲剛度最大（2EI），兩者都使側向勁度最大，所需外力最大，符合題目所問。

3. (C)

   P_c：柱高 4.5 m 且撓曲剛度只有 EI，勁度與柱高的三次方成反比，又沒有剛度加倍，是四者中最小。

4. (D)

   P_d：撓曲剛度雖為 2EI，但柱高 4.5 m，高度放大後的三次方效應遠超過剛度加倍的效果，所需外力小於 (b)，也小於 (a)。

演算步驟

1. 1. 公式：柱頂不轉動、柱底固定的柱，側向勁度 k = 12EI/h³（kN/m）；兩柱並聯 k_總 = 2 × 12EI/h³。
2. 2. (a)：P_a = 2 × 12 × EI/(3 m)³ × 1 = 0.888889 EI（kN）。
3. 3. (b)：P_b = 2 × 12 × 2EI/(3 m)³ × 1 = 1.777778 EI（kN）。
4. 4. (c)：P_c = 2 × 12 × EI/(4.5 m)³ × 1 = 0.263374 EI（kN）。
5. 5. (d)：P_d = 2 × 12 × 2EI/(4.5 m)³ × 1 = 0.526749 EI（kN）。
6. 6. 比較：P_b > P_a > P_d > P_c，最大為 P_b。

記憶點