一結構如圖所示，上部為一個短柱，底部為兩個面積較小的長柱支撐，中間塗黑部分為剛體，當頂端受到一外力 P 作用時，最頂部的位移為多少？ P 2 AE 0.6 L AE AE L

本題考點

軸力構件的變形 δ = PL/(AE)，以及串聯與並聯構件的位移疊加。上部短柱與下部兩根長柱為串聯；下部兩根長柱經剛體連結、縮短量相同，為並聯分擔載重。

正解理由

依題圖所示，上部短柱的軸向剛度標示為 2AE、長度 0.6L；下部兩根長柱各標示 AE、長度 L，中間塗黑的剛體把兩部分連在一起。頂端位移等於上部短柱的縮短量加上剛體的下移量。上部短柱承受全部的 P，縮短量 δ₁ = P×0.6L/(2AE) = 0.3PL/AE。剛體不變形，兩根長柱的縮短量必須相同；兩根柱的 AE 與 L 都相同，所以各分擔 P/2，剛體下移量 δ₂ = (P/2)×L/(AE) = 0.5PL/AE。頂端總位移 δ = δ₁ + δ₂ = 0.3PL/AE + 0.5PL/AE = 0.8PL/AE = 4PL/5AE，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   PL/AE：不符合題目所問。係數 1 大於正確係數 0.8，位移被高估；正確作法是上部短柱以 2AE 與 0.6L 計算、下部兩柱各承擔一半的力。

2. (B)

   4PL/5AE：符合題目所問。上部短柱縮短 0.3PL/AE，下部並聯長柱縮短 0.5PL/AE，兩者串聯相加為 0.8PL/AE。

3. (C)

   3PL/2AE：不符合題目所問。係數 1.5 比正確值大很多，與「上部剛度較大、下部兩柱分擔載重」的條件都不相容，頂部位移應為 4PL/5AE。

4. (D)

   3PL/5AE：不符合題目所問。係數 0.6 小於正確值 0.8，位移被低估；串聯構件的位移必須把上段與下段的縮短量全部相加。

演算步驟

1. 軸向變形公式：δ = PL/(AE)（kN×m ÷ (m²×kN/m²) = m）
2. 上部短柱（承受 P，剛度 2AE，長 0.6L）：δ₁ = P×0.6L/(2AE) = 0.3PL/AE（m）
3. 下部長柱（兩柱並聯，各承受 P/2，剛度 AE，長 L）：δ₂ = (P/2)×L/(AE) = 0.5PL/AE（m）
4. 頂端總位移：δ = δ₁ + δ₂ = 0.3PL/AE + 0.5PL/AE = 0.8PL/AE = 4PL/5AE（m）

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