承上題，正方形斷面梁的最大應力為圓形斷面梁的多少倍？

本題考點

懸臂梁最大彎曲應力 σmax = M / S（M 為最大彎矩、S 為斷面模數）。材料、載重、跨長與斷面積都相同時，比較正方形斷面與圓形斷面的斷面模數，應力比就是斷面模數的反比。

正解理由

懸臂梁自由端受集中載重 P，彎矩由自由端向固定端線性增加，最大彎矩出現在固定端，大小為 P × L。兩根梁的 P 與 L 相同，所以最大彎矩相同；材料相同只影響變位（與 E 有關），不影響彎曲應力。最大彎曲應力 σmax = M / S，M 相同時應力與斷面模數 S 成反比，因此「正方形梁最大應力 ÷ 圓形梁最大應力 = S圓 ÷ S正」。以相同斷面積 A 表示，正方形的斷面模數 S正 = A√A / 6，圓形的斷面模數 S圓 = 0.25 × A√A / √π，兩者相除 S圓 / S正 = 0.25 × 6 / √π = 1.5 / 1.77245 = 0.846（取至小數點後第三位）。正方形梁的最大應力為圓形梁的 0.846 倍，故選 D。

逐項排除

1. (A)

   1.047：不符合題目所問。這個值等於「正方形慣性矩 ÷ 圓形慣性矩」：同面積時 I正 = A² / 12、I圓 = A² / (4π)，相除得 4π / 12 = 1.047。慣性矩比管的是勁度與變位，不是彎曲應力；而且題目問的是應力比，必須用斷面模數比，而且方向是 S圓 / S正。另外，同面積下正方形斷面模數較大、應力較小，答案必定小於 1，大於 1 的值在方向上也不對。

2. (B)

   0.955：不符合題目所問。這個值等於「圓形慣性矩 ÷ 正方形慣性矩」= 12 / (4π) = 0.955，也就是兩梁自由端變位之比（變位與 EI 成反比）。它回答的是變位比，換成應力比，就要把慣性矩 I 改成斷面模數 S = I / c，同時計入兩種斷面形心到最外緣的距離 c 不同，才會得到 0.846。

3. (C)

   1.182：不符合題目所問。這個值是正確比值 0.846 的倒數(1 / 0.84628 = 1.182)，即「S正 / S圓」，也就是「圓形梁應力 ÷ 正方形梁應力」，分子分母放反了。題目問的是正方形梁應力為圓形梁的幾倍，應寫成 σ正 / σ圓 = S圓 / S正。

4. (D)

   0.846：符合題目所問。σ正 / σ圓 = S圓 / S正 = 1.5 / √π = 0.846，正方形斷面在同面積下斷面模數較大，最大彎曲應力較小，與比值小於 1 的方向一致。

演算步驟

1. ① 最大彎矩：Mmax = P × L（固定端），兩梁 P、L 相同，Mmax 相同，單位 kN·m。
2. ② 應力比：σ正 / σ圓 = （Mmax / S正） / （Mmax / S圓） = S圓 / S正（無因次）。
3. ③ 正方形斷面（邊長 a，a × a = A，單位 m²）：I正 = a⁴ / 12，形心到最外緣 c = a / 2，S正 = I正 / c = a × a × a / 6(12 / 2 = 6)；以 a = √A 代入，S正 = A√A / 6（單位為長度的三次方）。
4. ④ 圓形斷面（直徑 d）：π × d × d / 4 = A，得 d × d = 4A / π，d = 2√(A / π)（因 2 × 2 = 4）。I圓 = πd⁴ / 64，c = d / 2，S圓 = π × d × d × d / 32(64 / 2 = 32)。d × d × d = 8 × (A / π) × √(A / π)(2 × 2 × 2 = 8)，代入 S圓 = π × 8 × A√A / (π × √π × 32) = (8 / 32) × A√A / √π = 0.25 × A√A / √π（單位為長度的三次方）。
5. ⑤ 比值：S圓 / S正 = (0.25 × A√A / √π) ÷ (A√A / 6) = 0.25 × 6 / √π = 1.5 / √π；√π = 1.77245(1.77245 × 1.77245 = 3.14158)，故 σ正 / σ圓 = 1.5 / 1.77245 = 0.846。

記憶點