圖示桿件在中央 b 點及自由端 a 點分別承受 2P 及 P 之軸力作用，若 a 點垂直向下之伸長量為 δ=KPL/(EA)，試問 K 值為何？

本題考點

分段變斷面軸力桿的伸長量，δ = NL/(EA) 分段計算再相加，關鍵在於每一段的軸力要由自由體圖求出，不能直接用外力。

正解理由

依題圖所示，桿件上端 c 固定，cb 段長 L、軸向剛度 2EA；ba 段長 L、軸向剛度 EA；b 點受向下 2P、自由端 a 點受向下 P。由 a 端往上取自由體：ba 段內只承受下方的 P，軸力為 P（張力）；cb 段承受其下方全部的外力 2P + P = 3P（張力）。各段伸長量：δ_cb = 3P × L/(2EA) = 1.5 PL/(EA)，δ_ba = P × L/(EA) = 1 PL/(EA)。a 點的總位移是兩段伸長量之和 δ = 2.5 PL/(EA)，對照 δ = KPL/(EA)，K = 2.5，故選 D。

逐項排除

1. (A)

   3/5：比正確值 2.5 小得多。兩段都受張力、伸長量必須相加，a 點位移不會小於 ba 段自身的伸長量 PL/(EA)，K 值不可能小於 1。

2. (B)

   1：這只是 ba 段的伸長量 P × L/(EA)，漏掉了 cb 段的伸長。a 點跟著 b 點一起往下移，cb 段伸長 1.5 PL/(EA) 也要加進去。

3. (C)

   2：比正確值 2.5 小；cb 段的軸力是 3P、剛度是 2EA，伸長量 1.5 PL/(EA)，加上 ba 段的 PL/(EA) 才是 2.5，數值不符。

4. (D)

   2.5：cb 段 1.5 PL/(EA) 加 ba 段 PL/(EA)，符合題目所問。

演算步驟

1. 1. 公式：軸力桿伸長量 δ = N × L/(E × A)，分段計算後相加。
2. 2. ba 段軸力：N_ba = P（kN，張力）。
3. 3. cb 段軸力：N_cb = 2P + P = 3P（kN，張力）。
4. 4. cb 段伸長：δ_cb = 3P × L/(2EA) = (3/2) PL/(EA)（m）。
5. 5. ba 段伸長：δ_ba = P × L/(EA) = (1/1) PL/(EA)（m）。
6. 6. a 點位移：δ = (3/2 + 1/1) PL/(EA) = 2.5 PL/(EA)（m），K = 2.5。

記憶點