下圖桁架的穩定與可定性質為何？

本題考點

平面桁架的穩定與靜定判別。以節點法的計數式 m + r − 2j（m 為桿件數、r 為支承反力數、j 為節點數）判斷靜不定次數，並檢查桿件與支承的幾何排列是否構成穩定體系。

正解理由

依題圖所示，桁架下弦有 A、D 兩個端點與中間兩個節點，上弦有兩個節點，共 6 個節點；桿件為兩根端部斜桿、下弦三段、上弦一段、兩根豎桿，以及中央格間交叉的兩根斜桿（兩斜桿交叉處不設節點），共 10 根；A、D 兩端都是鉸支承，各提供水平與垂直兩個反力，共 4 個反力。代入計數式：m + r − 2j = 10 + 4 − 2 × 6 = 2，大於零，表示未知力比節點平衡方程式多 2 個。再看幾何排列：兩端格間由端部斜桿、豎桿與下弦組成三角形，中央矩形格間有交叉斜桿撐住，不會發生平行四邊形式的變位；兩個鉸支承的反力不全部平行、也不交於一點，合起來能抵抗整體的平移與轉動，所以是穩定結構。穩定且多出 2 個未知力，故選 D。

逐項排除

1. (A)

   不符合。計數式算得 m + r − 2j = 2，代表桿件與反力的數量足夠，這只滿足穩定的必要條件；要判定穩定，還須確認幾何排列沒有缺陷。本題兩端格間為三角形，中央矩形格間有交叉斜桿，沒有缺少斜桿而能自由變形的格間；兩個鉸支承合起來才能抵抗整體轉動，而它們的反力既不全部平行、也不交於一點，所以整體穩定，不是不穩定。

2. (B)

   不符合。靜定結構要求未知力數恰好等於可用的平衡方程式數，也就是 m + r 與 2j 恰好相等；本題 m + r = 14，2j = 12，多出 2 個未知力，無法只靠平衡方程式解出全部桿力與反力，所以不是靜定。

3. (C)

   不符合。1 次靜不定只計入了一處多餘。本題的多餘有兩處：內部方面，桿件數 10 比穩定桁架所需的 2 × 6 − 3 = 9 根多 1 根（中央格間交叉斜桿多出的那一根）；外部方面，兩個鉸支承共 4 個反力，比整體平衡所需的 3 個多 1 個。內外合計為 2 次靜不定，不是 1 次。

4. (D)

   符合。總計數 10 + 4 − 2 × 6 = 2，拆開為內部 10 − (2 × 6 − 3) = 1 次、外部 4 − 3 = 1 次，合計 2 次，且結構穩定，故為 2 次靜不定。

演算步驟

1. 1. 計數：節點 j = 6 個，桿件 m = 10 根，反力 r = 4 個（A、D 各為鉸支承，各 2 個）。
2. 2. 總靜不定次數：n = m + r − 2j = 10 根 + 4 個 − 2 × 6 個 = 14 − 12 = 2 次。
3. 3. 內部靜不定：m − (2j − 3) = 10 根 − (2 × 6 − 3) 根 = 10 − 9 = 1 次。
4. 4. 外部靜不定：r − 3 = 4 個 − 3 個 = 1 次。
5. 5. 驗算：內部 1 次 + 外部 1 次 = 2 次，與總計數一致；幾何排列無缺陷，判定為穩定的 2 次靜不定。

記憶點