圖中為一平面纜索系統的部分簡圖，其中 B 為支壓材，A、C 為連接纜索。A 索拉力為 TA、 B 桿壓力為 CB、C 索拉力為 TC。試從頂端之角度判斷 TA、CB、TC 之相對大小（不計正負）？ C A B

本題考點

三力匯交於一點的靜力平衡，用拉密定理（Lami's theorem）由頂端節點各力之間的夾角，判斷 A 索拉力、B 桿壓力與 C 索拉力的相對大小。

正解理由

頂端節點只受三個力：A 索拉力 TA 沿 A 索指向 A 端（往左下拉）；C 索拉力 TC 沿 C 索在頂端的切線指向 C 側（往右下拉）；B 為支壓材，壓力 CB 沿 B 桿軸線把節點往上推，方向是 B 桿軸線的反向。三力匯交且平衡時，依拉密定理，每一個力的大小與「另外兩個力之間夾角」的正弦成正比。依題圖，A 索與 B 桿之間的夾角為 55°，B 桿與 C 索切線之間的夾角為 30°。於是：TA 與 TC 之間的夾角為 55° + 30° = 85°；

CB 作用方向與 TC 之間的夾角為 180° − 30° = 150°；CB 作用方向與 TA 之間的夾角為 180° − 55° = 125°；三個夾角相加 85° + 150° + 125° = 360°，正好繞節點一圈，確認方向判讀無誤。對應關係為 CB ∝ sin85°、TC ∝ sin125° = sin55°、TA ∝ sin150° = sin30°。正弦在銳角範圍內隨角度遞增，85° > 55° > 30°，所以 CB > TC > TA，故選 D。

逐項排除

1. (A)

   TA>CB>TC 不符。TA 對應的是 sin30°，三者中最小；CB 對應 sin85°，三者中最大，此選項把最小的 TA 排成最大，且 CB 與 TC 的位置也不對，正確次序應為 CB>TC>TA。

2. (B)

   CB>TA>TC 不符。CB 最大這一點正確，但 TA 與 TC 的次序顛倒：TC 對應 sin55°，大於 TA 對應的 sin30°，所以應是 TC 排在 TA 前面，即 CB>TC>TA。

3. (C)

   TA>TC>CB 不符。此選項把三者次序整個倒過來：被 55° 與 30° 兩個夾角加總（85°）所「對著」的是 CB，它最接近直角，正弦最大，CB 應為最大而不是最小；TA 對應 sin30° 應為最小。

4. (D)

   CB>TC>TA 符合。依拉密定理，CB、TC、TA 分別與 sin85°、sin55°、sin30° 成正比，次序正是 CB>TC>TA。

演算步驟

1. 拉密定理：TA / sin(∠TC，CB) = TC / sin(∠CB，TA) = CB / sin(∠TA，TC)。
2. ① TA 與 TC 之夾角 = 55° + 30° = 85°。
3. ② CB 與 TC 之夾角 = 180° − 30° = 150°，sin150° = sin30°。
4. ③ CB 與 TA 之夾角 = 180° − 55° = 125°，sin125° = sin55°。
5. ④ 檢核：85° + 150° + 125° = 360°。
6. ⑤ 比例：TA ：TC ：CB = sin30° ：sin55° ：sin85°，正弦在銳角範圍內遞增，得 CB > TC > TA。

記憶點