如圖示之剛構架，AB、BC、CD 之長度均為 L 且為相同斷面，EI = 撓曲剛度，B、C 均為鉸接。當 P 作用在 BC 梁之中間位置時，此剛架之彈性挫曲載重（elastic buckling load）為 Pcr = k × EI(π/L)2，則 k 值為何？

本題考點

以鉸接梁串連的兩根固定基腳柱，在垂直載重下的整體側移挫屈；關鍵在判斷每根柱的端部束制（挫屈長度）以及兩柱如何分擔 P。

正解理由

依《木構造建築物設計及施工技術規範》第 5.3.2 節，歐勒挫屈載重可寫成 Pk = cπ²EI / l² = π²EI / lk²，挫屈長度 lk 依材端支持狀況而定，材端會移動時挫屈長度要加長；挫屈長度為實長的 2 倍（2l）時，係數 c 為 1/4。先看傳力：B、C 為鉸接，BC 梁只能傳遞剪力與軸力、不能傳遞彎矩，等於一根架在兩柱頂上的簡支梁。P 作用在 BC 中點，對 B 點取力矩平衡，C 端反力 × L = P × L/2，兩端反力各為 P/2，所以 AB、CD 各承受 P/2 的軸壓力。

再看束制：依題圖所示，A、D 為固定端；柱頂因為鉸接，梁對柱頂不提供轉動束制；柱頂水平方向雖由 BC 梁串連、兩柱必須一起側移，但兩柱長度、斷面與軸力都相同，會同時到達臨界，彼此無法互相支撐，構架只能整體側移。因此每根柱都是「下端固定、上端可轉動且可側移」的懸臂柱，挫屈長度 lk = 2L，單柱臨界軸力為 π²EI / (2L)² = (1/4) × EI(π/L)²。令每柱軸力 P/2 等於此值，得 Pcr = 2 × (1/4) × EI(π/L)² = (1/2) × EI(π/L)²，即 k = 1/2，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   k = 1 相當於 Pcr = π²EI / L²，也就是挫屈長度等於實長 L 的柱、由一根柱承受全部 P 時的結果，算式為 1 / (1 × 1) = 1。錯在兩處：其一，本題柱頂鉸接又可側移，挫屈長度不是 L 而是 2L；其二，P 由兩柱各分擔一半。兩處修正後應為 2 × 1/4 = 1/2，(A) 把臨界載重高估為兩倍。

2. (B)

   符合題目所問。AB、CD 各受 P/2、各以挫屈長度 2L 的懸臂柱計，單柱係數為 1 / (2 × 2) = 1/4，兩柱合計 k = 2 × 1/4 = 1/2。

3. (C)

   k = 1/4 只是「一根」固定—自由懸臂柱的臨界係數，等於把全部 P 都算給單一根柱：1 / (2 × 2) = 1/4。實際上 BC 梁中點的 P 經兩端反力平均傳給 AB、CD，每柱只受 P/2，構架能承受的總載重是單柱值的兩倍，應為 1/2。

4. (D)

   k = 1/8 是把單柱係數 1/4 再除以 2 的結果：1 / (2 × 2) / 2 = 1/8，把「兩柱分擔」的方向弄反了。兩柱分擔載重，代表同一個 P 分給兩根柱，構架可承受的總載重變大（乘 2），不是變小；正確為 1/4 × 2 = 1/2。

記憶點