如圖示之剛構架，AB、BC、CD 之長度及斷面均相同，A 為固定端，D 為鉸支承，EA = 軸向剛度，EI = 撓曲剛度，C 為鉸接，當 CD 因均勻溫度升高而伸展，則剛架最大彎矩及最大剪力同時發生在何處？

本題考點

靜不定剛架受溫度變化時的內力分布。先認出兩端鉸接、桿身無載重的 CD 是二力桿，只傳遞沿桿軸的鉛直力；再把 A-B-C 視為固定於 A 的折線懸臂，畫出彎矩圖與剪力圖，找出最大彎矩與最大剪力重疊的位置。

正解理由

依題圖，AB 為左側柱，下端 A 為固定端；BC 為梁，B 為剛接角隅，C 為鉸接；CD 為右側柱，下端 D 為鉸支承。CD 兩端都是鉸、桿身沒有外力，屬二力桿，桿力只能沿桿軸，也就是鉛直方向，所以 C 點傳給梁的力只有鉛直分量、水平分量為零。CD 均勻升溫想伸長，但 D 點不能移動、C 點又被 A-B-C 剛架拉住，伸長受到束制，CD 因而受壓，並以大小 P 的鉛直力把 C 點往上頂；P 的大小由變形相容條件決定，與 EA、EI 有關，但不影響最大值發生的位置。

於是 A-B-C 等同於「固定端在 A、自由端 C 受鉛直集中力 P」的折線懸臂：BC 段距 C 點 x 處的彎矩 M = P·x，由 C 點的零線性增加到 B 點的 P·L；AB 段任一斷面到 P 作用線的水平力臂都是 BC 的長度 L，彎矩沿柱高恆為 P·L。剪力方面，BC 段垂直於梁軸的力就是 P，全段剪力恆為 P；AB 段沒有任何水平力，剪力為零，P 對柱而言只是軸力。最大彎矩 P·L 出現在整段 AB（含 A、B），最大剪力 P 出現在整段 BC（含 B、C），兩者同時成立的位置只有 B 點，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   A：固定端 A 的反力矩等於 P·L，彎矩確實達到最大值；但全架沒有任何水平力，A 點水平反力為零，AB 柱的剪力也為零，A 點只有鉛直反力與反力矩，最大剪力不在這裡。要同時滿足兩個條件，位置須上移到柱與梁交會的 B 點。

2. (B)

   B：B 點是 AB 段（彎矩恆為 P·L）與 BC 段（剪力恆為 P，彎矩在 B 端達到 P·L）的交會處，彎矩最大且梁端剪力最大，符合題目所問。

3. (C)

   C：C 為鉸接，彎矩為零；梁在 C 端的剪力雖然等於 P，但彎矩是全架最小值，不符合「同時」最大的要求。彎矩最大值應在 B 點與 AB 段。

4. (D)

   D：D 為鉸支承，彎矩為零；CD 是二力桿，只有軸向壓力、沒有剪力，D 點的彎矩與剪力都不是最大。CD 承擔的是軸力，最大彎矩與最大剪力要到剛架 A-B-C 上找。

演算步驟

1. ① 二力桿判定：CD 兩端鉸接且無橫向載重，桿力沿鉛直桿軸，C 點受鉛直力 P(kN)，水平分力為零。
2. ② 整體平衡求 A 點反力：水平方向 H_A = H_C，為零；鉛直方向 V_A = P(kN)，方向與 C 點受力相反；對 A 取力矩 M_A = P(kN) × L(m) = P·L(kN·m)。
3. ③ BC 段（自 C 量起距離 x，單位 m）：剪力 V(x) = P(kN)；彎矩 M(x) = P(kN) × x(m) = P·x(kN·m)；x = L 時 M_B = P(kN) × L(m) = P·L(kN·m)。
4. ④ AB 段：剪力 V = H_A，為零；彎矩 M = P(kN) × L(m) = P·L(kN·m)，沿柱高不變；軸力 N = P(kN)。
5. ⑤ 比較：最大彎矩 P·L(kN·m) 位於 AB 全段與 B 點，最大剪力 P(kN) 位於 BC 全段與 B、C 兩點，交集為 B 點。

記憶點