下圖結構的穩定與可定性質為何？ L L L L

本題考點

平面剛架的穩定與可定判斷——先以「反力數 − 平衡方程式數 − 條件方程式數」計次，再檢查三個鉸是否共線而造成幾何不穩定。

正解理由

依題圖所示，左下與右上兩個支承都是鉸支承（各提供水平、垂直兩個反力），豎桿中段另有一個內鉸。外部反力共 4 個，平面剛體的平衡方程式有 3 個，內鉸提供 1 個條件方程式（鉸處彎矩為零），計次為 4 − 3 − 1 = 0，這只代表「數量上」滿足靜定的必要條件。接著檢查幾何：以左下支承為原點、以 L 為單位，依題圖尺寸，內鉸位於水平 1、垂直 1 處，右上支承位於水平 2、垂直 2 處。左支承到內鉸的斜率為 (1 − 0)/(1 − 0) = 1，內鉸到右支承的斜率為 (2 − 1)/(2 − 1) = 1，兩段斜率相同，三個鉸落在同一條直線上。

三鉸共線時，左半部繞左支承轉動、右半部繞右支承轉動，兩者在內鉸處產生的微小位移方向都垂直於這條直線，彼此相容，結構在原位置就能產生不受抵抗的微小變位，屬幾何不穩定（瞬變），故選 A。

逐項排除

1. (A)

   符合。計次為 0 只滿足必要條件；三鉸共線使結構失去抵抗垂直於該連線方向位移的能力，屬幾何不穩定，「不穩定」正是本題的性質。

2. (B)

   不符。「靜定」要同時滿足兩個要件：計次為 0，且幾何穩定。本題第一個要件成立，第二個要件因三鉸共線而不成立，所以不能判為靜定。要成為靜定的三鉸剛架，內鉸必須偏離兩支承的連線。

3. (C)

   不符。1 次靜不定代表多出 1 個贅餘約束，也就是反力數比平衡方程式與條件方程式之和多 1。本題相減為 0，沒有贅餘約束；只有在內鉸改為剛接、不再有條件方程式時，計次才會是 4 − 3 = 1，而題圖明確畫有內鉸。

4. (D)

   不符。2 次靜不定需要 2 個贅餘約束，本題反力只有 4 個，即使把內鉸改為剛接，計次也只到 1，無論如何達不到 2；何況本題實際狀態是幾何不穩定。

演算步驟

1. 計次：反力數 − 平衡方程式數 − 條件方程式數 = 4 − 3 − 1 = 0（僅滿足必要條件）
2. 共線檢查（座標以 L 為單位）：左支承至內鉸斜率 = (1 − 0)/(1 − 0) = 1；內鉸至右支承斜率 = (2 − 1)/(2 − 1) = 1
3. 兩段斜率相同 → 三鉸共線 → 幾何不穩定

記憶點