如下圖所示，一構件斜面之中心點受一水平力 P=1000 N 作用，此斜面與水平方向之夾角為 θ=45°，若該構件垂直面之面積 A0 =100 cm2，則沿斜面之平均剪應力 τave 為多少？ P=1000 N P=1000 N A0=100 cm2 θ =45°

本題考點

軸向受拉構件斜截面上的應力轉換。斜面面積比垂直斷面大，作用力又要分解成垂直斜面與沿斜面兩個分量，平均剪應力 τ = (P/A₀)·sinφ·cosφ（φ 為斜面法線與桿軸的夾角）。

正解理由

依題圖所示，構件兩端各受 P=1000 N 的水平拉力，屬軸向受拉；垂直斷面面積 A₀=100 cm²，斜面與水平方向夾角 θ=45°。設斜面法線與桿軸的夾角為 φ，斜面面積 A = A₀/cosφ，P 沿斜面方向的分量 V = P·sinφ，所以沿斜面的平均剪應力 τ = V/A = (P/A₀)·sinφ·cosφ。斜面與水平夾 45° 時，其法線與桿軸的夾角也是 45°，sin45° 與 cos45° 相等，sin45°×cos45° = 2/4 = 1/2，角度取哪一個量都得到同一個乘積。代入：P/A₀ = 1000 N/100 cm² = 10 N/cm²，τ = 10 N/cm² × 1/2 = 5 N/cm²，故選 A。

逐項排除

1. (A)

   5 N/cm²：符合題目所問。斜面面積放大與力分解各帶一個 45° 的三角函數因子，相乘得 1/2，τ = 1000/100×1/2 = 5 N/cm²。

2. (B)

   10 N/cm²：不符合題目所問。10 N/cm² 是 P/A₀，即垂直斷面上的正應力，不是斜面上的剪應力；要求斜面剪應力，還須乘上 sinφ·cosφ = 1/2。

3. (C)

   15 N/cm²：不符合題目所問。軸向受力構件任一斜面上的剪應力最大只到 P/A₀ 的一半（發生在 45° 斜面），即 5 N/cm²；15 N/cm² 已超過這個上限，也超過垂直斷面的正應力。

4. (D)

   20 N/cm²：不符合題目所問。理由同 (C)，20 N/cm² 比任何斜面可能出現的剪應力都大，也大於 P/A₀，不可能是平均剪應力。

演算步驟

1. 垂直斷面正應力：σ = P/A₀ = 1000 N / 100 cm² = 10 N/cm²
2. 斜面剪應力公式：τ = (P/A₀)·sinφ·cosφ
3. 角度因子：sin45°×cos45° = 2/4 = 1/2（無因次）
4. 平均剪應力：τ = 10 N/cm² × 1/2 = 5 N/cm²

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