下圖（左）為一簡支梁在均布荷載 q(x)作用下之示意圖，圖（右）則為該梁於 x 處截取一小段梁 dx 之自由體圖。圖中 M 代表彎矩、dM 代表彎矩增量、V 代表剪力、dV 代表剪力增量。下列關係式中，何者正確？

本題考點

取梁的一小段 dx 作自由體，由力平衡與力矩平衡導出荷載 q(x)、剪力 V 與彎矩 M 之間的微分關係，也就是「荷載是剪力的斜率、剪力是彎矩的斜率」。

正解理由

依題圖（右），微小段左面作用剪力 V 與彎矩 M，右面作用剪力 V+dV 與彎矩 M+dM，梁段上受分布荷載 q(x)，在長度 dx 上的合力為 q(x)·dx。先列垂直方向的力平衡：左面的 V 與荷載合力 q(x)·dx 同向，右面的 V+dV 反向，三者相加為零，得 dV = q(x)·dx，也就是 dV/dx = q(x)。再對微小段右端斷面取力矩平衡：左面剪力 V 對右端的力臂是 dx，產生力矩 V·dx；

左右兩面的彎矩差是 dM；分布荷載合力 q(x)·dx 的力臂只是 dx 的一部分，兩者相乘屬於 dx 平方階的高階微量，在 dx 趨近於零時可忽略。於是 dM = V·dx，即 dM/dx = V(x)。四個關係式中只有 (C) 與此結果相同，故選 C。

逐項排除

1. (A)

   錯誤。把兩個平衡式相除，dM/dV = V(x)·dx / (q(x)·dx) = V(x)/q(x)，是剪力與荷載強度的比值，不是微小長度 dx。把增量比值寫成 dx，是把「對 x 微分」與「對 V 微分」混在一起；正確寫法是 dM/dx = V(x)。

2. (B)

   錯誤。q(x) 對應的是剪力隨 x 的變化率，即 dV/dx = q(x)，不是彎矩的變化率。彎矩的一階導數是剪力 V(x)，荷載 q(x) 要到彎矩對 x 的二階導數才出現。要使本式成立，左邊須改為 dV/dx，或右邊改為 V(x)。

3. (C)

   正確。由微小段對右端的力矩平衡，忽略高階微量後得 dM = V·dx，即 dM/dx = V(x)：彎矩圖上任一點的斜率等於該點的剪力值。

4. (D)

   錯誤。剪力的變化率等於荷載強度，應為 dV/dx = q(x)；彎矩 M 是剪力 V 對 x 積分的結果，D 把兩者的上下關係整個顛倒了，主體（V 的變化率）與對應量（M）都不符。

演算步驟

1. 垂直力平衡：ΣFy = V + q(x)·dx − (V + dV) = 0 → dV = q(x)·dx → dV/dx = q(x)（單位 kN/m）
2. 對右端斷面取力矩平衡：彎矩差 dM 由左面剪力的力矩 V·dx 提供，q(x)·dx 乘其力臂屬 dx 平方階微量而略去 → dM = V·dx → dM/dx = V(x)（單位 kN·m/m = kN）

記憶點