圖示結構之穩定與靜不定性質為何？

本題考點

平面結構的穩定性與靜不定次數判斷，要同時會數支承反力、會扣掉內鉸提供的條件方程式，並檢查支承排列是否會造成幾何不穩定。

正解理由

依題圖所示，這是一根連續梁：左側依序有三個滾支承，第三個滾支承右側有一個內鉸，梁的右端為固定端。先數未知反力：每個滾支承只提供一個垂直反力，固定端提供水平反力、垂直反力與彎矩三個反力，合計 3 × 1 + 3 = 6 個。再數可用方程式：整體平面平衡有三條，內鉸處彎矩為零再多一條條件方程式，合計 3 + 1 = 4 條。靜不定次數 = 6 − 4 = 2。接著檢查穩定性：右段（內鉸到固定端）是一根懸臂梁，固定端單獨就能把它完全固定，屬穩定；

左段（三個滾支承到內鉸）在內鉸處被已固定的右段拉住，內鉸對左段提供水平與垂直兩個拘束，三個滾支承再各提供一個垂直拘束，水平方向有內鉸擋住，滾支承又不與內鉸重合，左段不會平移也不會轉動，屬穩定。換個方式驗算：把結構在內鉸處拆成兩根構件，未知量為外部反力 6 個加內鉸傳遞的水平力與垂直力 2 個，共 8 個；兩根構件各三條平衡方程式，共 2 × 3 = 6 條，8 − 6 = 2，結果一致。結構穩定且多出兩個多餘拘束，故選 D。

逐項排除

1. (A)

   不符合。判定不穩定要找到支承排列會讓結構產生剛體運動的情形，例如所有反力互相平行或全部交於一點。本題右段為固定端懸臂，本身穩定；左段的水平方向由內鉸拘束，垂直與轉動由滾支承與內鉸共同拘束，三個滾支承都不在內鉸位置上，左段無法繞內鉸轉動。整體反力有水平分量、垂直分量與彎矩，沒有全部平行或共點，所以是穩定結構。要讓這種梁變成不穩定，得把固定端換成滾支承之類只剩垂直反力的支承，使全部反力都變成平行的垂直力，結構就會整體水平滑動。

2. (B)

   不符合。靜定的條件是未知反力數恰好等於可用方程式數，也就是靜不定次數為零。本題未知反力 6 個、方程式 4 條，算出 2 次，比靜定多出兩個多餘拘束，只靠平衡方程式與內鉸條件解不出全部反力，必須再加上變形相容條件。題圖結構要成為靜定，多餘拘束數必須是零，與本題的計算結果不符。

3. (C)

   不符合。一次靜不定表示只多出一個多餘拘束，但本題正確計算出的靜不定次數是 2，比選項少了一次。判斷時必須把三個滾支承、固定端的三個反力全部數進來，並扣掉內鉸那一條條件方程式，結果才是 2。

4. (D)

   符合。結構穩定，未知反力 6 個、方程式 4 條，靜不定次數 6 − 4 = 2，正是二次靜不定；拆成兩根構件驗算得 8 − 6 = 2，結果相同。

演算步驟

1. 公式：靜不定次數 n = r −（3 + c），r 為未知反力數，c 為內鉸提供的條件方程式數。
2. 未知反力 r = 3 個滾支承 × 1 個 + 固定端 3 個 = 6 個。
3. 可用方程式 = 平衡方程式 3 條 + 內鉸條件 1 條 = 4 條。
4. n = 6 個 − 4 條 = 2 次。
5. 驗算（拆構件法）：未知量 = 外部反力 6 個 + 內鉸內力 2 個 = 8 個；方程式 = 2 根構件 × 3 條 = 6 條；n = 8 − 6 = 2 次。
6. 結果：穩定，二次靜不定。

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