如圖所示的剛構架，AB 及 BC 之材質與斷面均相同，A 點承受一垂直力 P 之作用，下列有關 A 點處之水平位移 ΔAH 及垂直位移 ΔAV 之敘述，何者正確？

本題考點

L 形懸臂剛構架在自由端受垂直力時的變形分析，重點是剛接節點 B 的轉角如何同時帶動 A 點的水平與垂直位移，並用彎矩面積法（M/EI 圖）比較兩者大小。

正解理由

先看題圖：C 為固定端，A 為自由端，AB 為水平梁、BC 為豎向柱，兩者在 B 剛接，梁長與柱高都標為 L，題幹並說明兩構材材質與斷面相同（EI 相同）。整個構架只有 C 一處支承，是靜定的懸臂剛構架。依一般結構學假設，只計彎曲變形，忽略軸向與剪力變形。

受力：以 AB 為自由體，梁內彎矩由 A 點的零線性增加到 B 點的 PL；B 為剛接，PL 完整傳入柱 BC，而柱上沒有任何水平力，所以柱全高承受大小不變的彎矩 PL（另有軸壓力 P，依假設不計其變形）。

① 柱 BC：均勻彎矩使柱彎成等曲率的弧線。依彎矩面積法，柱頂轉角 θB 等於柱 M/EI 圖的面積，即 θB = PL × L / EI；柱頂水平位移等於同一塊 M/EI 面積對柱頂取矩，這塊矩形面積的形心在柱高中點，力臂比 L 短，所以 B 點水平位移小於 θB × L，方向朝 A 的一側。

② 梁 AB：AB 不計軸向變形，A 的水平位移與 B 相同，ΔAH 即為上面那個小於 θB × L 的量。A 的垂直位移由兩部分疊加：B 轉角 θB 使整根 AB 跟著剛體轉動，A 因此下移 θB × L；再加上 AB 自身像懸臂梁受 P 彎曲而產生的撓度，這一項必為正值。

比較：ΔAH ＜ θB × L ＜ ΔAV，兩者都不為零，且水平位移小於垂直位移，故選 C。

逐項排除

1. (A)

   錯誤。A 是自由端，唯一的支承在 C；柱受彎矩 PL 而彎曲，B 點同時產生水平位移與轉角，A 點便同時有水平與垂直位移。兩者都等於零只會發生在構件完全不變形（剛體）或 A 本身是固定支承的情況，與題圖不符。改成「ΔAH≠0，ΔAV≠0」才對。

2. (B)

   錯誤。前半「ΔAH=0」不成立：垂直力雖然沒有水平分量，但它對 B 點形成彎矩 PL，經剛接節點傳入柱，柱因此彎曲，柱頂 B 水平移動，不計軸向變形的 AB 把這個水平位移原封不動帶到 A。後半「ΔAV≠0」本身是對的，但整個選項因前半錯誤而不成立。對照情境：若同一個力直接作用在 B 點、沿柱軸線向下，柱只受軸力、不受彎矩，在忽略軸向變形的假設下柱頂才沒有水平位移；本題載重偏在 A 點，柱必然受彎。

3. (C)

   正確。ΔAH 只來自柱 M/EI 面積對柱高中點的力臂，小於 θB × L；ΔAV 至少等於 θB × L，再加上梁 AB 自身的撓度，所以 ΔAH＜ΔAV。

4. (D)

   錯誤。大小關係寫反了。水平位移只靠柱的彎曲，而且力臂只到形心；垂直位移則同時包含節點轉角帶動的整段梁長，以及梁本身的彎曲，兩個來源都使 ΔAV 較大。改成「ΔAH＜ΔAV」才對。

記憶點