圖示之二懸臂梁，短梁與長梁於 a 點之垂直變位量分別為 Δ1 與 Δ2，兩者關係可表示為 Δ1 = βΔ2，則 β 為何？ 2 EI 2L

本題考點

懸臂梁自由端受集中荷載時的端點變位公式 Δ = PL³/(3EI)，以及變位與跨長三次方成正比、與撓曲剛度 EI 成反比的比例關係。

正解理由

依題圖，兩根梁都是 b 端固定、a 端自由，a 端各受向下集中荷載 P；短梁跨長 L、撓曲剛度 EI，長梁跨長 2L、撓曲剛度 2EI。懸臂梁自由端受集中荷載的變位為 Δ = PL³/(3EI)。短梁 Δ1 = PL³/(3EI)。長梁把跨長換成 2L、剛度換成 2EI：Δ2 = P(2L)³/(3 × 2EI) = 8PL³/(6EI) = 4PL³/(3EI)。兩者相比，β = Δ1/Δ2 = (1/3)/(4/3) = 1/4。跨長加倍使變位放大為 8 倍，剛度加倍又讓變位減半，淨效果是長梁變位為短梁的 4 倍，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   不符合。若誤用懸臂梁自由端轉角公式 θ = PL²/(2EI) 去比較兩梁，得到的比值為 (1/2)/((2 × 2)/(2 × 2)) = 1/2，這是兩梁 a 端轉角之比，不是垂直變位之比。變位與跨長是三次方關係，不是平方關係，正確比值為 1/4。

2. (B)

   符合。Δ1 = PL³/(3EI)，Δ2 = 4PL³/(3EI)，β = 1/4。

3. (C)

   不符合。1/6 與正確值 1/4 不同，代表短梁變位被低估、或長梁變位被高估；依 Δ = PL³/(3EI) 同時計入跨長三次方與剛度加倍兩個因素，比值只會是 1/4。

4. (D)

   不符合。若只計入跨長加倍的三次方效應、漏掉長梁撓曲剛度為 2EI，會得 Δ2 = P(2L)³/(3EI) = 8PL³/(3EI)，比值 (1/3)/(8/3) = 1/8。長梁剛度加倍使變位減半，必須計入，正確比值為 1/4。

演算步驟

1. 公式：懸臂梁自由端受集中荷載 Δ = PL³/(3EI)
2. 短梁：Δ1 = P·L³/(3·EI)（單位 kN·m³/(kN·m²) = m）
3. 長梁：Δ2 = P·(2L)³/(3·2EI)，其中 (2L)³ = 2 × 2 × 2 × L³ = 8L³，3 × 2EI = 6EI，故 Δ2 = 8PL³/(6EI) = (8/6)·PL³/EI = (4/3)·PL³/EI（單位 m）
4. 比值：β = Δ1/Δ2 = (1/3)/(4/3) = 0.25 = 1/4

記憶點