圖中桁架結構有幾支零桿？

本題考點

桁架零桿判別。利用節點平衡導出的兩個判別法則，從沒有外力的節點開始逐點連鎖判斷，數出圖中所有內力為零的桿件。

正解理由

依題圖所示，桁架有五個節點：頂點、中段左節點、中段右節點（水平力 P 作用於此）、左下鉸支承節點與右下滾支承節點；桿件共 7 支：頂點通往中段左、右兩節點的兩支、中段水平桿、中段左節點通往左支承的下斜桿、左支承通往中段右節點的對角斜桿、中段右節點通往右支承的豎桿，以及底桿。判別零桿用兩個法則：「兩桿節點法則」——節點只接兩支不共線的桿件、且沒有外力或反力時，兩支都是零桿；

「三桿節點法則」——節點接三個力、其中兩個共線且沒有其他外力時，第三個力為零（支承反力也算一個力）。逐點判斷如下：頂點只接兩支不共線的桿、沒有載重，兩支皆為零桿，計 2 支。這兩支歸零後，中段左節點原本的三支桿只剩水平桿與下斜桿兩支，兩者不共線且節點上沒有外力，於是這兩支也是零桿，計 2 支。右下滾支承節點接豎桿與底桿，滾支承反力垂直於支承面，與豎桿同一方向；圖上的直角符號標示底桿垂直於豎桿，沿底桿方向只剩底桿本身一個力，底桿必為零桿，計 1 支。合計 2 + 2 + 1 = 5 支。剩下的對角斜桿與右下豎桿要把水平力 P 傳到支承，必定受力。故選 A。

逐項排除

1. (A)

   5 支：符合題目所問。頂點 2 支、中段左節點 2 支、滾支承節點的底桿 1 支，合計 5 支；反過來以全部 7 支桿扣掉必須受力的對角斜桿與右下豎桿 2 支，7 − 2 = 5 支，兩種數法一致。

2. (B)

   4 支：不符合題目所問。只判出頂點與中段左節點（2 + 2 = 4 支），漏掉右下滾支承節點。支承節點雖然有反力，但滾支承反力與豎桿共線，底桿方向沒有任何力能與它平衡，底桿仍是零桿；正確數目要再加這 1 支，為 5 支。

3. (C)

   3 支：不符合題目所問。只判出頂點 2 支與底桿 1 支（2 + 1 = 3 支），漏了連鎖判斷：頂點兩支歸零後，中段左節點由三桿節點退化成兩桿節點，水平桿與下斜桿要一起歸零。少算這 2 支，正確為 5 支。

4. (D)

   2 支：不符合題目所問。只判出頂點兩支，中段左節點的連鎖歸零（2 支）與滾支承節點的底桿（1 支）都沒有判出，比正確的 5 支少 3 支。

演算步驟

1. 判別法則：兩桿節點法則、三桿節點法則（節點平衡 ΣFx = 0、ΣFy = 0）。
2. 頂點：兩桿不共線、無外力 → 零桿 2 支。
3. 中段左節點：拿掉頂點兩支後剩兩桿不共線、無外力 → 零桿 2 支。
4. 右下滾支承節點：反力與豎桿共線，底桿垂直於豎桿 → 零桿 1 支。
5. 合計：2 支 + 2 支 + 1 支 = 5 支。
6. 驗算：全部 7 支 − 必須受力 2 支 = 5 支。

記憶點