如圖所示的四組結構，梁皆為剛體，且質量皆集中於梁時，其基本振動週期之比較，下列何者正確？

本題考點

單自由度系統的基本振動週期與質量、側向勁度的關係，以及兩端固接柱（梁為剛體）的側向勁度如何隨柱的撓曲剛度 EI 與柱高變化。

正解理由

四組結構的梁都是剛體、質量集中在梁上，所以每一組都可視為「一個質量 M 掛在兩支柱提供的側向彈簧上」的單自由度系統，週期 T 與 √(M/K) 成正比。梁為剛體代表柱頂不能轉動，柱底又是固定端，每支柱都是兩端固接、柱頂側移的變形模式，其側向勁度與 EI 成正比、與柱高的立方成反比。以甲為基準（質量 M、柱 EI、柱高 H），比較各組週期平方的比值（週期平方與 M/K 成正比，比較平方與比較週期本身的大小順序相同）：甲為 1；

乙質量變為 2M、勁度不變，比值為 2/1 = 2；丙質量不變、柱撓曲剛度變為 2EI 使勁度加倍，比值為 1/2 = 0.5；丁柱高變為 1.5H，勁度變為原來的 1/(1.5 × 1.5 × 1.5) = 1/3.375，比值為 1.5 × 1.5 × 1.5 = 3.375。週期大小順序為丁 > 乙 > 甲 > 丙，其中「丁 > 甲 > 丙」成立。故選 C。

逐項排除

1. (A)

   錯誤。丁 > 甲這一段成立，但甲 > 乙不成立：乙的質量是甲的兩倍、勁度相同，週期平方比值為 2，大於甲的 1，所以乙的週期比甲長。正確的順序應為「丁 > 乙 > 甲」。

2. (B)

   錯誤。丙 = 乙不成立：乙是質量加倍（週期平方比值 2），丙是勁度加倍（週期平方比值 0.5），一個讓週期變長、一個讓週期變短，方向相反，不可能相等；乙 > 甲雖然成立，但丙 < 甲，所以「丙 > 甲」也不成立。改成「乙 > 甲 > 丙」才對。

3. (C)

   正確。丁的週期平方比值 3.375 大於甲的 1，甲的 1 又大於丙的 0.5，順序「丁 > 甲 > 丙」成立。

4. (D)

   錯誤。甲 > 丙成立，但丙 > 乙不成立：丙的週期平方比值 0.5 小於乙的 2，乙的週期最長之一、丙的週期最短，順序剛好相反；而且甲本身也小於乙。改成「乙 > 甲 > 丙」才對。

記憶點