如圖所示之剛構架，AB、BC、CD 之長度相等，D 為滾動支承（roller），EI 為梁斷面撓曲剛度，B 為鉸接。若 B 受水平力 P 作用，則最大彎矩會發生在何處？ P

本題考點

含中間鉸接的靜定剛構架，先用「鉸接處彎矩為零」加上自由體力矩平衡找出零力構件，再判斷彎矩分布與最大彎矩位置。

正解理由

依題圖所示，A 為固定端，AB 為柱，B 在柱頂且為鉸接，BC 為水平梁，C 為剛接角隅，CD 為柱，D 為滾動支承；題幹說明 AB、BC、CD 等長，以下令其長度為 L。滾動支承 D 只能提供垂直反力 Dy。把鉸 B 右側的 BCD 整段切出來當自由體，鉸 B 只傳力、不傳彎矩，所以 BCD 上只有兩組外力：鉸 B 傳來的力，以及 D 點的 Dy。對 B 取力矩，鉸 B 的力通過 B 點不產生力矩，Dy 的作用線距 B 的水平距離為 BC 長度 L，因此 Dy × L 必須為零，得 Dy 為零；

再由垂直與水平力平衡，鉸 B 傳給 BCD 的兩個分力也都為零。也就是說，BCD 整段沒有任何內力，是零力構件。水平力 P 作用在鉸 B 上，既然 BCD 不分擔，P 就全部經由柱頂傳給 AB。AB 於是成為一支下端固定、上端受水平集中力的懸臂柱：彎矩在柱頂 B 為零，往下線性增加，到固定端 A 達到最大值 P × L。B、C、D 三處的彎矩都是零，最大彎矩發生在 A，故選 A。

逐項排除

1. (A)

   正確。AB 是懸臂柱，彎矩從柱頂往固定端線性增加，固定端 A 的彎矩為 P × L，是全構架唯一不為零、也是最大的彎矩。

2. (B)

   錯誤。B 是鉸接，鉸接處無法傳遞彎矩，彎矩必為零；B 同時也是 AB 懸臂柱的自由端，彎矩為零。全構架最大彎矩應在固定端 A，不在 B。

3. (C)

   錯誤。C 雖然是剛接角隅，可以傳遞彎矩，但 BCD 已由對 B 取力矩證明是零力構件，BC 與 CD 都沒有內力，C 的彎矩為零。剛接只代表「能」傳彎矩，不代表「一定」有彎矩；最大彎矩應在 A。

4. (D)

   錯誤。D 是滾動支承，只能提供垂直反力、不能提供抵抗彎矩，支承處彎矩必為零；本題 Dy 又已算得為零，CD 柱完全不受力。最大彎矩應在 A。

演算步驟

1. 一、BCD 自由體對 B 取力矩：ΣM_B = Dy(kN)× L(m)= 零，得 Dy = 零。
2. 二、BCD 垂直力平衡：By(kN)+ Dy(kN)= 零，得 By = 零；水平力平衡：BCD 上除鉸 B 外沒有水平外力，得 Bx = 零。BCD 為零力構件。
3. 三、P 全部由柱 AB 承受，AB 為懸臂柱，距柱頂 y 處的彎矩 M(y)= P(kN)× y(m)。
4. 四、y = L 時為固定端 A：M_A = P(kN)× L(m)= PL(kN·m)，為全構架最大彎矩；M_B = M_C = M_D = 零。

記憶點