下圖為一遮陽棚的結構示意圖。該遮陽棚的水平遮陽板與垂直結構柱之間並未進行任何固定，且兩者接觸面間的摩擦力可忽略。水平遮陽板為均質材料所製，其質心可假設位於斷面的正中央處；纜索的重量則可忽略不計。關於此遮陽棚結構，下列敘述何者正確？（i） 3m （ii） 3m 3m

本題考點

剛體靜力平衡與結構靜定性、穩定性判別——以未知力個數與獨立平衡方程式個數判斷靜定或靜不定，以約束力作用線是否共點或全平行判斷穩定性，再用力矩平衡求纜索內力。

正解理由

依題圖，水平遮陽板是一根剛體，受到四個力：自重 W（作用於板的中點）、柱對板的接觸力 R、纜索（i）拉力 T1、纜索（ii）拉力 T2。題幹說明板與柱之間未固定，且接觸面摩擦力可忽略，因此柱只能對板施加垂直於接觸面的水平推力 R，不能提供垂直力，也不能提供彎矩；纜索則只能受拉，拉力沿纜索方向。題圖中纜索（ii）的下端接在板上距左端 3 m、距柱面 3 m 的位置，也就是板的中點，正好是自重 W 的作用位置；

水平推力 R 在板的高度沿板軸線作用，同樣通過這個中點。對板中點取力矩：W、T2、R 的作用線都通過該點，力臂皆為零；只剩纜索（i）的拉力 T1，其作用線由板左端斜向柱上的錨定點，不通過板中點，力臂不為零。力矩平衡要求 T1 乘以其力臂等於零，所以 T1 必為零。換句話說，僅有自重時，板重全由纜索（ii）的垂直分力承擔，纜索（ii）的水平分力則與柱的水平推力 R 互相抵消，較長的纜索（i）不受力。故選 C。

逐項排除

1. (A)

   錯誤。判斷靜定與否，要比較未知力的個數與獨立平衡方程式的個數。板上的未知力是柱的水平推力 R、纜索拉力 T1 與 T2；平面剛體可列水平力平衡、垂直力平衡、力矩平衡三種獨立方程式，未知力個數恰與方程式個數相同，所有力都能只靠平衡條件求出，屬於靜定結構，不是靜不定。要成為靜不定，必須有多餘約束，例如板與柱之間改為固接而能傳遞剪力與彎矩，或再多拉一條纜索，使未知力多於平衡方程式，這時才需要引入變形相容條件求解。

2. (B)

   錯誤。「內部不穩定」是指構件組合本身無法維持形狀，受力後各部分會相對運動，例如以鉸接串成的四連桿。本題的板是單一剛體，形狀不會改變，不存在內部不穩定。外部約束也足夠：T1 與 T2 的作用線交於柱上的錨定點，而 R 是沿板軸線的水平力，依題圖錨定點位於板上方 3 m，R 的作用線不通過該點；三個約束力也不是全部平行。因此三力既不共點、也不全平行，能抵抗任意平面載重，是穩定且靜定的結構。若改成三個約束力交於同一點（板可繞該點轉動），或三力全部平行（板可沿垂直於力的方向平移），才會是不穩定。

3. (C)

   正確。如前段對板中點取力矩的分析，取矩時只有 T1 有力臂，故 T1 = 0。也可以換一點驗算：對柱上錨定點取力矩，T1、T2 都通過該點不產生力矩；R 對該點的力臂是垂直距離 3 m，W 對該點的力臂是水平距離 3 m，得 R × 3 m = W × 3 m，所以 R 與 W 大小相等。再看力的平衡：水平方向 T2 的水平分力要等於 R，垂直方向 T2 的垂直分力要等於 W，兩個分力相等，恰好與纜索（ii）水平投影 3 m、垂直落差 3 m 的幾何方向一致。整組力在 T1 = 0 的條件下完全平衡，與對中點取矩的結論互相印證。

4. (D)

   錯誤。靜定結構的內力隨外力大小與作用位置而改變，兩纜索拉力的比值不是固定常數。最直接的反例就是 (C)：僅有自重時 T1 = 0、T2 不為零，兩者根本不是 2：1。當載重作用點移到板中點左側（靠板的自由端）時，對板中點的力矩不再為零，T1 才開始出力；載重位置不同，兩纜索分擔的比例也跟著不同。正確的敘述應是「兩纜索的拉力比隨外力大小與作用位置而變」，不存在「永遠」維持某一比值的關係。

記憶點