如下圖之梁結構，兩側懸臂端在集中力 P 作用下，下列敘述何者正確？

本題考點

外伸梁（兩端懸臂）在對稱集中力作用下的支承反力、剪力圖與彎矩圖，重點是辨認「純彎曲段」，也就是剪力為零、彎矩為常數的區段。

正解理由

先求支承反力。依題圖所示，B 為鉸支承、C 為滾支承，反力未知數與平衡方程數目相同，梁為靜定。對 C 點取力矩平衡：R_B × L = P × (a + L) − P × a = P × L，得 R_B = P；再由垂直力平衡 R_B + R_C = P + P，得 R_C = P，兩支承各向上承擔 P。接著在 BC 段內任取一截面（距 A 點 x），截面左側的外力只有 A 點向下的 P 與 B 點向上的 R_B = P，兩者相加為零，所以 BC 段剪力為零；

左側外力對截面的力矩為 −P × x + P × (x − a) = −P × a，與截面位置 x 無關，所以 BC 段彎矩是大小 P × a 的常數（負彎矩，梁上緣受拉）。梁上沒有任何水平力，軸力也為零。剪力為零、軸力為零、只剩固定彎矩，正是「純彎曲」狀態，BC 段之內力只有彎矩。故選 B。

逐項排除

1. (A)

   錯誤。AB 段任一截面（距 A 點 x），左側只有向下的 P，剪力大小恆為 P；但同一個 P 對截面還有力臂 x，產生大小 P × x 的彎矩，由 A 點的零線性增加到 B 點的 P × a。所以 AB 段同時有剪力與彎矩，CD 段與 AB 段對稱，情形相同。只有在自由端 A、D 這一點上彎矩才為零，不能把端點的狀態推到整段。改成正確的說法：「AB、CD 段之內力有大小為 P 的剪力，以及由零線性增加到 P × a 的彎矩」。

2. (B)

   正確。BC 段截面左側的懸臂載重 P 與支承反力 R_B 大小相等、方向相反，剪力互相抵消為零；兩者形成力臂為 a 的力偶，使彎矩恆為 P × a；又無水平力，軸力為零，所以內力只有彎矩。

3. (C)

   錯誤。BC 段剪力為零，不是「剪力及彎矩都有」。剪力是彎矩沿梁長的變化率（dM/dx = V），BC 段彎矩沿梁長不變，剪力必然為零。BC 段要出現剪力，必須在 B、C 之間另有橫向載重，或兩側懸臂對支承產生的力矩不相等，使反力不再恰好抵消懸臂載重；本題兩側載重與懸臂長都相同，這兩種情形都不存在。改成正確的說法：「BC 段之內力只有彎矩」。

4. (D)

   錯誤，有兩處不符。其一，最大彎矩不是 P × L：彎矩的力臂是懸臂長 a，不是支承間距 L，最大彎矩為 P × a，出現在支承 B、C 處並延續於整個 BC 段；L 只出現在求反力的平衡式中，最後被消去。其二，最大剪力 P 出現在 AB 與 CD 兩段懸臂，BC 段剪力為零，並不在 BC 段之內。改成正確的說法：「最大彎矩 P × a 出現在 BC 段（含支承 B、C），最大剪力 P 出現在 AB、CD 段」。

記憶點