如下圖所示之 4 個靜不定剛構架（rigid frame），撓曲剛度（EI）為定值，跨度為 L，高度為 L，各剛構架於不同位置設有鉸支承或鉸接點，且於 B 點承受不同大小之外力。下列那個剛構架於 C 點處承受最小的彎矩？ P 2P 3P 4P 結構（a）結構（b）結構（c）結構（d）

本題考點

剛構架中鉸接點的力學意義——鉸接點不能傳遞彎矩，該處彎矩恆為零；並比較不同支承與鉸接配置的剛構架在側向力下的節點彎矩。

正解理由

依題圖，四個剛構架跨度、高度皆為 L，水平力都作用在 B 點：結構（a）A 為鉸支承、D 為固定，B、C 為剛接，受 P；結構（b）A、D 固定，B 點畫有鉸接點，受 2P；結構（c）A、D 固定，C 點畫有鉸接點，受 3P；結構（d）A 固定、D 為鉸支承，B、C 為剛接，受 4P。結構（c）的 C 點本身就是鉸，梁端與柱頂在該點都無法傳遞彎矩，不論 3P 多大，C 點彎矩恆為零，這是四者中不可能再小的值。

其餘三個構架 C 點都是剛接，以撓角變位法列節點彎矩平衡與層剪力平衡聯立求解，C 點彎矩皆不為零：結構（a）為 7/22 PL = 0.3182 PL、結構（b）為 12/23 PL = 0.5217 PL、結構（d）為 10/11 PL = 0.9091 PL。因此 C 點承受最小彎矩的是結構（c）。故選 C。

逐項排除

1. (A)

   結構（a）：C 點為剛接，梁與右柱在 C 點連續、共同抵抗側向力，C 點彎矩為 7/22 PL = 0.3182 PL，不為零，大於結構（c）的零彎矩。

2. (B)

   結構（b）：鉸接點在 B 而不在 C。B 點鉸讓梁在 B 端與左柱之間不傳彎矩，但 C 點仍為剛接，右柱與梁在 C 點要共同抵抗 2P 造成的側移，C 點彎矩為 12/23 PL = 0.5217 PL，大於結構（c）。

3. (C)

   結構（c）：鉸接點正好設在 C，鉸不能傳遞彎矩，C 點彎矩恆為零，四者中最小，符合題目所問。

4. (D)

   結構（d）：C 點為剛接，且 D 為鉸支承，右柱底部不能分擔彎矩，柱頂 C 端必須承擔較大彎矩；加上外力為 4P，C 點彎矩為 10/11 PL = 0.9091 PL，是四者中最大。

演算步驟

1. 判斷原則：鉸接點處彎矩 M = 0
2. 結構（c）：C 為鉸，M_C = 3P × 0 = 0
3. 結構（a）（P，A 鉸支、D 固定，撓角變位法）：M_C = 7/22 PL = 0.3182 PL
4. 結構（b）（2P，B 鉸，撓角變位法）：M_C = 12/23 PL = 0.5217 PL
5. 結構（d）（4P，A 固定、D 鉸支，撓角變位法）：M_C = 10/11 PL = 0.9091 PL
6. 比較：0 < 0.3182 PL < 0.5217 PL < 0.9091 PL，結構（c）最小

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