圖中所示一正三角形桁架，求可施加之最大負載 P，使得無任何桿件受力超過 3 kN 之張力或 2.5 kN 之壓力？

本題考點

對稱靜定桁架以節點法求桿件內力，再分別用「容許張力」與「容許壓力」反推載重上限，取較小者控制。

正解理由

正三角形桁架 A 為鉸支承、B 為滾支承，頂點 C 受向下載重 P，結構與載重左右對稱，兩支承垂直反力各為 P/2。在節點 A 取力平衡：斜桿 AC 的垂直分量要抵抗向上的反力 P/2，因此 AC 受壓；AC 的水平分量向左推 A 點，必須由底桿 AB 的拉力平衡，因此 AB 受拉。正三角形斜桿與水平的夾角使 sinθ = √3/2、cosθ = 1/2，可得 AC = BC = P/√3（壓）、AB = P/(2√3)（拉）。

斜桿受壓的比例較大、容許壓力又較小，所以壓力條件先達上限：P/√3 = 2.5 kN 得 P = 2.5 × 1.732 = 4.33 kN；拉力條件 P/(2√3) = 3 kN 得 P = 3 × 2 × 1.732 = 10.39 kN，較寬鬆不控制。取兩者較小值 4.33 kN，取至小數一位為 4.3 kN。故選 A。

逐項排除

1. (A)

   符合。4.3 kN 是斜桿壓力剛好達到 2.5 kN 時的載重，此時底桿拉力只有 P/(2√3)，遠低於 3 kN，兩個條件都滿足。

2. (B)

   不符。6.3 kN 大於壓力控制上限 4.33 kN，代入後斜桿 AC、BC 的壓力會超過 2.5 kN，違反壓力限制。

3. (C)

   不符。8.3 kN 同樣大於 4.33 kN，斜桿壓力超過 2.5 kN；雖然底桿拉力仍未達 3 kN，但只要有任一桿件超限即不成立。

4. (D)

   不符。10.3 kN 遠大於壓力控制上限，斜桿壓力明顯超過 2.5 kN；只檢核拉力條件而忽略壓力條件，會漏掉真正控制的桿件。

演算步驟

1. 1. 支承反力（對稱）：Ay = By = P/2。
2. 2. 節點 A 垂直平衡：F_AC × sinθ = P/2，sinθ = √3/2 → F_AC = P/√3（壓）。
3. 3. 節點 A 水平平衡：F_AB = F_AC × cosθ = (P/√3) × 1/2 = P/(2√3)（拉）；同理 F_BC = P/√3（壓）。
4. 4. 壓力條件：P/√3 ≤ 2.5 kN → P ≤ 2.5 kN × 1.732 = 4.33 kN。
5. 5. 拉力條件：P/(2√3) ≤ 3 kN → P ≤ 3 kN × 2 × 1.732 = 10.39 kN。
6. 6. 取小值：P_max = 4.33 kN，取至小數一位為 4.3 kN。

記憶點