圖示構架中 BC 桿之 I=∞，AB 及 CD 兩桿之 I 值為定值，則 A、D 兩點之彎矩反力為何？ B C P I =∞ I 4l I D 4l A 6l 4 Pl 16 Pl

本題考點

剛性梁(I=∞)門型剛架受水平力時的側移分析：柱頂不能轉動，各柱視為兩端固定柱，水平力依側向勁度 12EI/h³ 分配，柱端彎矩 = V h / 2。

正解理由

依題圖所示，BC 梁 I=∞，B 點受向右的水平力 P；AB 柱高 4ℓ + 4ℓ = 8ℓ，CD 柱高 4ℓ，兩柱 I 相同，柱腳 A、D 都是固定端。梁無限剛，柱頂 B、C 不能轉動，兩柱頂水平位移相同，每根柱都相當於兩端固定、僅發生側移的柱，側向勁度 k = 12EI/h³。勁度比 k_CD ：k_AB = (1/4³) ：(1/8³) = 8 ：1，水平力依勁度分配：V_AB = P/9，V_CD = 8P/9。兩端固定柱純側移時彎矩呈反對稱，柱腳彎矩 = V h / 2：M_A = (P/9) × 8ℓ / 2 = 4Pℓ/9，M_D = (8P/9) × 4ℓ / 2 = 16Pℓ/9。

方向方面：兩柱頂同樣向右位移，變形型態相同，兩個柱腳的彎矩反力轉向一致；向右的 P 對柱腳產生順時針的翻轉傾向，柱腳固定端提供的彎矩反力為逆時針。故選 A。

逐項排除

1. (A)

   正確。M_A = 4Pℓ/9、M_D = 16Pℓ/9，兩者同為逆時針。

2. (B)

   不正確。大小正確，但 M_D 方向寫成順時針。兩柱頂同向側移、兩柱變形型態相同，兩個柱腳的彎矩反力必定同一轉向，不會一個逆時針、一個順時針。

3. (C)

   不正確。數值與方向都不符：AB 柱分到的剪力是 P/9，乘以柱高的一半 4ℓ 得 4Pℓ/9 而非 2Pℓ/9；CD 柱剪力 8P/9 乘以 2ℓ 得 16Pℓ/9 而非 10Pℓ/9；而且兩柱腳彎矩應同為逆時針，不是一順一逆。

4. (D)

   不正確。M_D 數值 16Pℓ/9 正確，但 M_A 應為 4Pℓ/9 而非 5Pℓ/9，且 M_A 方向應為逆時針，與 M_D 相同。

演算步驟

1. 柱高：h_AB = 4ℓ + 4ℓ = 8ℓ；h_CD = 4ℓ。
2. 側向勁度：k = 12EI/h³；k_CD / k_AB = [12EI/(4ℓ)³] / [12EI/(8ℓ)³] = 8。
3. 剪力分配：V_AB = P × 1/(1 + 8) = P/9；V_CD = P × 8/9 = 8P/9。
4. 柱腳彎矩：M_A = V_AB × h_AB / 2 = (P/9) × 8ℓ / 2 = 4Pℓ/9；M_D = V_CD × h_CD / 2 = (8P/9) × 4ℓ / 2 = 16Pℓ/9。

記憶點