下圖之構架在 B 點受 4 tf-m 力矩作用，令材料性質 EI 為常數，則 BC 桿件所受之剪力為多少 tf？

本題考點

無側移剛架受節點力矩時的彎矩分配法 —— 桿件勁度（遠端固定取 4EI / L、遠端鉸接取 3EI / L）、分配係數，以及由桿端彎矩求桿件剪力。

正解理由

依題圖，A 為固定支承，C 為鉸支承，B 為剛接角隅，AB 柱高與 BC 梁跨都是 4 m，外力只有 B 點的 4 tf-m 力矩。不計桿件軸向變形時，B 點受 AB 柱限制不能上下移動，又經 BC 梁連到 C 鉸支而不能左右移動，所以 B 點只會轉動，屬於無側移剛架，可以直接做彎矩分配。BA 桿遠端固定，勁度 K_BA = 4EI / 4 = 1 EI；BC 桿遠端鉸接，使用修正勁度 K_BC = 3EI / 4 = 0.75 EI；

分配係數 DF_BC = 0.75 / 1.75 = 3/7。BC 桿在 B 端分得 4 × 3/7 = 12/7 tf-m；C 端為鉸接，桿端彎矩為零；BC 桿上沒有其他橫向載重，剪力沿全跨固定，等於兩端彎矩之和除以跨長：(12/7) ÷ 4 = 3/7 tf，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   1：不符合題目所問。1 tf 等於把 4 tf-m 全部當成 BC 桿的 B 端彎矩再除以 4 m(4 / 4 = 1)。B 點同時連接 AB 柱與 BC 梁，外加力矩要依兩桿勁度比例分配，BC 只分得 3/7，不能讓 BC 單獨承擔整個力矩。

2. (B)

   3/7：符合題目所問。BC 桿 B 端彎矩 12/7 tf-m、C 端彎矩為零，剪力 = (12/7) ÷ 4 = 3/7 tf，與剛架無側移、C 端鉸接的條件一致。

3. (C)

   3：不符合題目所問。3 tf 等於 12 / 4，也就是把 BC 桿端彎矩寫成 4 × 3 = 12 而沒有除以兩桿勁度係數總和 7。分配係數是「該桿勁度 ÷ 節點各桿勁度總和」，分母不可省，改正後 BC 桿端彎矩為 12/7 tf-m，剪力為 3/7 tf。

4. (D)

   3/14：不符合題目所問。這個值只有正確剪力 3/7 tf 的一半，與 BC 桿兩端彎矩之和除以跨長的結果不符；依題圖條件，BC 桿端彎矩為 12/7 tf-m、跨長 4 m，剪力應為 3/7 tf。

演算步驟

1. ① 判斷側移：A 固定、C 鉸支，不計軸向變形，B 點無水平與垂直位移，只有轉角，屬無側移剛架。
2. ② 桿件勁度：K_BA = 4EI / L = 4EI / 4 m = 1 EI/m（遠端固定）；K_BC = 3EI / L = 3EI / 4 m = 0.75 EI/m（遠端鉸接）。兩者比例 4 ：3，總和 1 + 0.75 = 1.75 EI/m（比例和 4 + 3 = 7）。
3. ③ 分配係數：DF_BA = 1 / 1.75 = 4/7；DF_BC = 0.75 / 1.75 = 3/7。
4. ④ 分配彎矩：M_BC = 4 tf-m × 3/7 = 12/7 tf-m(4 × 3 = 12)；M_BA = 4 tf-m × 4/7 = 16/7 tf-m(4 × 4 = 16)；12/7 + 16/7 = 4 tf-m，與外加力矩平衡。C 端為鉸接，BC 桿 C 端彎矩為零，不必再傳遞。
5. ⑤ BC 桿剪力：BC 桿上無橫向載重，V_BC = (M_BC + M_CB) / L = (12/7 tf-m) ÷ 4 m = 3/7 tf。

記憶點