如圖所示之懸臂柱構件頂端承受軸壓力 N 與側力 V，構件斷面寬與深分別為 B 與 D。若忽略自重，當軸壓應力可剛好抵銷柱底最大撓曲拉應力，使斷面完全受壓時，N 與 V 之比值為何？

本題考點

偏心受壓（軸力加彎矩）的組合應力，求斷面恰好全斷面受壓、拉應力為零的臨界條件，即軸壓應力 N/A 等於撓曲應力 M/S。

正解理由

依題圖所示，柱為底部固定的懸臂柱，高 L，頂端受軸壓力 N 與水平側力 V；斷面寬 B、深 D，深度 D 與側力 V 的方向一致，所以彎曲是繞著以 B 為寬的軸發生。柱底彎矩最大 M = V × L。矩形斷面積 A = B × D，斷面模數 S = B × D²/6。軸壓應力 σ_a = N/(BD)；撓曲應力 σ_b = M/S = 6VL/(BD²)，受拉側的拉應力等於 σ_b。題圖中柱底應力分布一側為 0、另一側為 σ_c，表示受拉側的撓曲拉應力剛好被軸壓應力抵銷。令 N/(BD) = 6VL/(BD²)，B 兩邊消去、D 消去一次，得 N = 6VL/D，所以 N/V = 6L/D，故選 D。

逐項排除

1. (A)

   2D/3L：D 在分子、L 在分母，表示柱越高所需軸力越小，與「柱越高、柱底彎矩 VL 越大，越需要更大軸力抵銷拉應力」的方向相反；正確應為 L 在分子、D 在分母，係數 6。

2. (B)

   3L/2D：L 在分子、D 在分母的形式正確，但係數小於正確值 6，所需軸力被低估，柱底仍會出現拉應力；應改為 6L/D。

3. (C)

   3D/L：與 (A) 同樣把 D 與 L 的位置顛倒，隨柱高增加比值反而變小，方向錯誤；正確為 6L/D。

4. (D)

   6L/D：由 N/(BD) = 6VL/(BD²) 解得，符合題目所問。

演算步驟

1. 1. 柱底彎矩：M = V × L（kN × m = kN·m）。
2. 2. 斷面性質：A = B × D（m²），S = B × D²/6（m³）。
3. 3. 軸壓應力：σ_a = N/A = N/(BD)（kN/m²）。
4. 4. 撓曲應力：σ_b = M/S = VL/(BD²/6) = 6VL/(BD²)（kN/m²）。
5. 5. 臨界條件：σ_a = σ_b → N/(BD) = 6VL/(BD²) → N = 6VL/D（kN）。
6. 6. 比值：N/V = (L/D) ÷ (1/6) = 6L/D（無因次）。

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