下列何者載重分布，使懸臂梁固定端彎矩最大？ 2w 2w w 0 0 L L L (a) (b) (c)

本題考點

懸臂梁固定端彎矩與分布載重的合力、形心位置——同樣大小的總載重，作用點離固定端越遠，彎矩越大。

正解理由

三根懸臂梁跨度都是 L，固定端在左。(a) 均布載重 w，合力 wL，作用在中點，力臂 L/2，固定端彎矩 wL²/2。(b) 三角形載重固定端為 0、自由端為 2w，合力 (1/2) × 2w × L = wL，形心距大端（自由端）L/3，也就是距固定端 2L/3，固定端彎矩 (2/3)wL²。(c) 三角形載重固定端為 2w、自由端為 0，合力同樣是 wL，形心距固定端 L/3，固定端彎矩 (1/3)wL²。三者總載重相同，但 (b) 的載重集中在離固定端最遠的一側，力臂最長，彎矩最大。故選 B。

逐項排除

1. (A)

   不符。(a) 固定端彎矩 wL²/2，合力力臂 L/2，小於 (b) 的 2L/3。

2. (B)

   符合。(b) 合力 wL 作用在距固定端 2L/3 處，固定端彎矩 (2/3)wL²，為三者最大。

3. (C)

   不符。(c) 載重集中在靠近固定端一側，合力力臂只有 L/3，固定端彎矩 (1/3)wL²，為三者最小。

4. (D)

   不符。三者總載重都是 wL，但合力作用點不同，力臂分別是 L/2、2L/3、L/3，固定端彎矩並不相同；只看總載重相等就判斷彎矩相等，忽略了力臂。

演算步驟

1. （以 w = 1、L = 1 代入比較）
2. 1. (a)：M = w × L × L/2 = 1 × 1 × 1 / 2 = 0.5。
3. 2. (b)：M = (1/2 × 2w × L) × (2L/3) = 2 × 1 / 2 × 1 × 2 / 3 = 0.6667。
4. 3. (c)：M = (1/2 × 2w × L) × (L/3) = 2 × 1 / 2 × 1 × 1 / 3 = 0.3333。
5. 4. 比較：(b) 0.6667 ＞ (a) 0.5 ＞ (c) 0.3333，(b) 最大。

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