一懸臂梁如圖所示，其斷面所承受之最大彎矩為 β•WL2，試問 β 值為何？

本題考點

懸臂梁承受三角形分布載重時的最大彎矩，關鍵是把分布載重換成合力，並找出合力作用點（三角形形心）的位置。

正解理由

依題圖所示，梁左端為自由端、右端為固定端，分布載重在自由端為零，向固定端線性增加，到固定端處的強度為 W。懸臂梁的彎矩從自由端的零開始，越靠近固定端越大，所以最大彎矩發生在固定端斷面。三角形分布載重的合力等於三角形面積 WL/2；合力作用在三角形形心，形心位於距大端（固定端）L/3 處。固定端彎矩 M = (WL/2) × (L/3) = WL²/6，對照 β × WL²，得 β = 1/6，故選 C。

逐項排除

1. (A)

   1/2：這是把載重當成全長強度皆為 W 的均布載重，合力 WL、力臂 L/2 所得的 WL²/2。題圖的載重是三角形，自由端強度為零，合力只有均布情況的一半，力臂也較短；應改為合力 WL/2、力臂 L/3。

2. (B)

   1/4：合力 WL/2 雖正確，但把合力作用點放在梁中點（力臂 L/2）。三角形載重的形心偏向大端，距固定端 L/3，而不是 L/2；應改用力臂 L/3。

3. (C)

   1/6：合力 WL/2 乘以形心到固定端的距離 L/3，得 WL²/6，符合題目所問。

4. (D)

   1/8：比正確值 1/6 小，相當於低估了固定端彎矩；本題懸臂梁在固定端承受全部載重產生的彎矩，依合力與形心力臂計算只能得到 1/6，數值不符。

演算步驟

1. 1. 分布載重合力：R = (1/2) × W × L = WL/2（W 單位 kN/m、L 單位 m，R 單位 kN）。
2. 2. 合力作用點：三角形形心距大端 L/3，即距固定端 L/3（單位 m）。
3. 3. 固定端彎矩：M = R × L/3 = (WL/2)(L/3) = (1/2 × 1/3) WL² = WL²/6（單位 kN·m）。
4. 4. 對照 M = β × WL²：β = 1/2 × 1/3 = 1/6。

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