下列四個具相同長度及斷面之梁承受相同集中力作用，則集中力作用處之撓度其大小順序為何？

本題考點

不同支承條件下，梁在集中載重作用處的撓度比較（懸臂梁、簡支梁、兩端固定梁、一端固定一端滾支梁），核心觀念是「支承束制越多、撓度越小」。

正解理由

四根梁的長度 L、斷面（EI）與載重 P 都相同，集中力作用處的撓度都可寫成 δ = c × PL³/(EI)，只要比較係數 c 即可。依題圖所示，① 為左端固定的懸臂梁，P 作用在自由端；② 為左端鉸支、右端滾支的簡支梁；③ 為兩端固定梁；④ 為左端固定、右端滾支的梁；②③④ 的 P 都作用在跨度中央。四者的係數分別為 ① 1/3、② 1/48、③ 1/192、④ 7/768。統一以 PL³/(768EI) 為單位，① 為 256、② 為 16、④ 為 7、③ 為 4，大小順序為 ①>②>④>③，故選 D。

逐項排除

1. (A)

   ①>②>③>④：前兩名正確，但把 ③ 排在 ④ 前面。③ 兩端都固定，兩端轉角都被鎖住；④ 只有左端固定、右端可自由轉動，束制較少，所以 ④ 的係數 7/768 大於 ③ 的 1/192（即 4/768）。後段應改為 ④>③。

2. (B)

   ②>④>③>①：把懸臂梁 ① 排在最小，方向完全顛倒。① 只靠一端支承，載重又作用在離支承最遠的自由端，係數 1/3 是四者中最大，遠大於其餘三者；應改為 ① 排第一，其後才是 ②>④>③。

3. (C)

   ①>③>④>②：有兩處錯誤。一是把簡支梁 ② 排到最小，但 ② 兩端都可轉動，係數 1/48（即 16/768）在三根中央受載的梁中最大；二是把 ③ 排在 ④ 前面，與 ④ 束制較少、撓度較大相反。應改為 ①>②>④>③。

4. (D)

   ①>②>④>③：與係數 256、16、7、4（以 PL³/(768EI) 為單位）的大小順序一致，符合題目所問。

演算步驟

1. ① 懸臂梁自由端受 P：δ① = PL³/(3EI)，係數 1/3。
2. ② 簡支梁中央受 P：由對稱，跨中轉角為零，取半跨視為長 L/2、端點受 P/2 的懸臂：δ② = (P/2)(L/2)³/(3EI) = (1/2)(1/8)/3 × PL³/(EI) = PL³/(48EI)。
3. ③ 兩端固定梁中央受 P：由對稱取半跨，視為長 L/2、端點受 P/2 且端點只能平移不能轉動的導向懸臂，其端點位移公式為 F × l³/(12EI)：δ③ = (P/2)(L/2)³/(12EI) = (1/2)(1/8)/12 × PL³/(EI) = PL³/(192EI)。
4. ④ 一端固定一端滾支、中央受 P：先拿掉滾支，視為長 L 的懸臂。P 在中點使自由端下垂 = P(L/2)³/(3EI) + [P(L/2)²/(2EI)] × (L/2) = PL³/(24EI) + PL³/(16EI) = 5PL³/(48EI)。滾支反力 R 使自由端上抬 RL³/(3EI)，相容條件 RL³/(3EI) = 5PL³/(48EI)，得 R = (5/48)/(1/3) × P = 5P/16。中點撓度 = P(L/2)³/(3EI) − R(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = PL³/(24EI) − (5/16)(1/4)(3 − 1/2)/6 × PL³/(EI) = 32PL³/(768EI) − 25PL³/(768EI) = 7PL³/(768EI)。
5. 換成同一單位 PL³/(768EI)：① 1/3 × 768 = 256，② 1/48 × 768 = 16，④ 7，③ 1/192 × 768 = 4。故 ①>②>④>③。

記憶點