如圖所示構架，A 點水平反力 Ax 及垂直反力 Ay 各為何？（A、C、E 為鉸接） 3m 3m B C D 30 kN 4m A E

本題考點

三鉸構架（A、E 為鉸支承，C 為中間鉸）承受水平集中載重時的支承反力。先用整體力矩平衡求垂直反力，再用「中間鉸 C 處彎矩為零」這個額外條件求水平反力，最後依力矩轉向判定箭頭方向。

正解理由

依題圖，30 kN 水平向右作用於右柱頂 D 點，柱高 4 m，BC 與 CD 各長 3 m。取整體構架為自由體、對 E 點取力矩：水平力 30 kN 對 E 的力臂是柱高 4 m，力矩為 30 kN × 4 m = 120 kN·m；Ay 對 E 的力臂是全跨 3 m + 3 m = 6 m，所以 Ay 的大小 = 120 kN·m ÷ 6 m = 20 kN。水平力把構架往右推，會使構架有繞右支承傾倒的趨勢，左支承 A 被往上拔、右支承 E 被往下壓，因此 A 點反力必須向下拉住構架：Ay = 20 kN（↓），對應 Ey = 20 kN（↑），兩者大小相等、方向相反，整體垂直力自然平衡。

接著取 C 鉸左側的 ABC 為自由體：C 為鉸接，不能傳遞彎矩，左半部所有外力對 C 的力矩合必須為零。Ay 對 C 的力臂是水平距離 3 m，力矩大小為 20 kN × 3 m = 60 kN·m；Ax 對 C 的力臂是柱高 4 m，必須提供大小相同、轉向相反的力矩，所以 Ax 的大小 = 60 kN·m ÷ 4 m = 15 kN。方向判定：向下的 Ay 作用在 C 的左下方，對 C 為逆時針；Ax 作用在 C 正下方 4 m 處，要產生順時針力矩就必須指向左，因此 Ax = 15 kN（←）。兩個分量方向同時成立的只有選項 (D)，故選 D。

逐項排除

1. (A)

   兩個分量的大小都對，但方向全錯。Ax 若向右，與向下的 Ay 對 C 點的力矩同為逆時針，C 鉸處彎矩不可能為零；Ay 若向上，整體對 E 取力矩時就會與水平力的力矩同向相加而無法平衡。改成 Ax 向左、Ay 向下才對。

2. (B)

   Ay = 20 kN（↓）正確，但 Ax 的方向錯。向右的 Ax 與向下的 Ay 對 C 點都產生逆時針力矩，左半部對 C 的力矩合無法為零，違反中間鉸的條件。Ax 應改為向左。

3. (C)

   Ax = 15 kN（←）正確，但 Ay 的方向錯。水平力向右推構架，左支承是被往上拔的一側，反力必須向下拉住；若 Ay 向上，Ey 也得向下，整體對 E 的力矩就與 30 kN × 4 m 的傾覆力矩同向，無法平衡。Ay 應改為向下。

4. (D)

   正確。整體對 E 取力矩得 Ay 的大小為 20 kN、方向向下；左半部對中間鉸 C 取力矩得 Ax 的大小為 15 kN、方向向左，兩個分量的大小與方向都與本選項一致。

演算步驟

1. ① 全跨長：L = 3 m + 3 m = 6 m。
2. ② 整體對 E 點力矩平衡（水平力的傾覆力矩由 Ay 抵抗）：Ay × 6 m = 30 kN × 4 m = 120 kN·m。
3. ③ Ay = 120 kN·m ÷ 6 m = 20 kN，方向向下（↓）；同理 Ey = 20 kN，方向向上（↑）。
4. ④ 左半部 ABC 對中間鉸 C 力矩平衡：Ax × 4 m = Ay × 3 m = 20 kN × 3 m = 60 kN·m。
5. ⑤ Ax = 60 kN·m ÷ 4 m = 15 kN，方向向左（←）。
6. ⑥ 檢核水平力平衡：Ex 的大小 = 30 kN − 15 kN = 15 kN，方向亦向左，兩支承共同抵抗向右的 30 kN。

記憶點