如圖示之均質矩形斷面，對於形心水平軸 x 之面積慣性矩記為 Ixx，而對於矩形底邊水平軸 X 之面積慣性矩記為 JXX，則 JXX/Ixx =？

本題考點

矩形斷面的面積慣性矩與平行軸定理。先寫出對形心軸 x 的慣性矩 Ixx，再用平行軸定理把軸移到底邊 X，求兩者的比值。

正解理由

依題圖，矩形寬 b、高 h，形心水平軸 x 位於斷面高度中央，底邊軸 X 與 x 平行、位於斷面最下緣，兩軸距離 d 等於 h 的一半。矩形對形心軸的慣性矩為 Ixx = bh³/12。平行軸定理規定：對任一平行軸的慣性矩，等於對形心軸的慣性矩加上「面積 × 兩軸距離的平方」。面積 A = b × h，距離的平方 d × d = h × h / 4，所以移軸項 A × d × d = bh³/4，換成十二分之幾就是 3bh³/12。於是 JXX = bh³/12 + 3bh³/12 = 4bh³/12 = bh³/3。比值 JXX/Ixx = (bh³/3) ÷ (bh³/12) = 12 ÷ 3 = 4，b 與 h 全部約掉，結果與斷面尺寸無關。故選 B。

逐項排除

1. (A)

   錯。3 是移軸項 A × d × d 與 Ixx 的比值，也就是只算了「面積 × 距離平方」這一項、漏加形心軸本身的 Ixx。平行軸定理是兩項相加，補上 Ixx 後比值才是 4。

2. (B)

   正確。JXX = Ixx + A × d × d = bh³/12 + bh³/4 = bh³/3，與 Ixx = bh³/12 相除得 4。

3. (C)

   錯。6 比正確比值 4 大。依平行軸定理，JXX 只由形心軸慣性矩 bh³/12 與移軸項 bh³/4 兩項組成，移軸距離取形心到底邊的距離，即 h 的一半；照此相加得 bh³/3，比值應為 4。

4. (D)

   錯。8 比正確比值 4 大一倍。矩形對底邊的慣性矩是 bh³/3，對形心軸是 bh³/12，兩者相除只能得到 4；改成 4 才對。

演算步驟

1. ① 形心軸慣性矩：Ixx = b × h³ / 12。
2. ② 兩軸距離：d 為 h 的一半，所以 d × d = h × h / 4。
3. ③ 平行軸定理：JXX = Ixx + A × d × d = bh³/12 + (b × h) × (h × h / 4) = bh³/12 + bh³/4。
4. ④ 通分：bh³/4 = 3bh³/12（因 12 ÷ 4 = 3），故 JXX = bh³/12 + 3bh³/12 = 4bh³/12 = bh³/3。
5. ⑤ 比值：JXX/Ixx = (bh³/3) ÷ (bh³/12) = 12 ÷ 3 = 4。

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