下圖的結構中，關於支承 A、B 點之反力的敘述何者錯誤？ 60°

本題考點

三鉸構架的支承反力求解——先辨認無外載重的 CB 構件為二力構件，確定 B 點反力的作用線，再以整體對 A 點取力矩與水平、垂直力平衡求出四個反力分量。

正解理由

依題圖所示，A、B 兩點為鉸支承，C 點為內鉸；斜桿 AC 長 1.5 m、與水平夾 60°，承受垂直於桿件、指向右下的均布載重 400 N/m；CB 段由 C 點水平向右 1 m 再垂直向下 1 m 到 B。CB 段上沒有任何外力，兩端又都是鉸，屬於二力構件，B 點反力必沿 B、C 兩點連線作用；B 相對 C 向右 1 m、向下 1 m，水平距離與垂直距離相等，所以 B 點反力的水平分量與垂直分量大小相等。均布載重合力 W = 400 N/m × 1.5 m = 600 N，作用在 AC 中點、方向垂直於 AC，它對 A 點的力臂就是 1.5 m / 2；

再以整體對 A 點取力矩求出 B 點反力，回代水平、垂直力平衡得 Ax ≈ 300 N（向左）、Ay ≈ 80.38 N（向上）、Bx ≈ 219.62 N（向左）、By ≈ 219.62 N（向上）。四個敘述中只有 Ay = 100 N 與計算結果不符，題目問「何者錯誤」，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   正確。由水平力平衡，A 點須提供載重水平分量 519.6 N 扣除 B 點水平反力 219.62 N 後的差額，Ax = 299.98 N，大小約為 300 N，方向向左，與選項敘述相符。

2. (B)

   錯誤，為本題答案。垂直方向只有載重垂直分量 300 N 向下，由 A、B 兩點分擔；B 點已分擔 By = 219.62 N，A 點只剩 300 N − 219.62 N = 80.38 N（向上）。選項寫的 100 N 大於正確值，數值不符；要改成正確敘述，應為 Ay ≈ 80.38 N。

3. (C)

   正確。由整體對 A 點取力矩，B 點反力分量 t = 450 N·m / 2.049 m = 219.62 N，Bx 大小約 220 N、方向向左，與選項敘述相符。

4. (D)

   正確。CB 為二力構件且 B 到 C 的水平距離與垂直距離同為 1 m，反力作用線的水平、垂直投影相等，故 By 與 Bx 大小相同，By = 219.62 N、約 220 N、方向向上，與選項敘述相符。

演算步驟

1. ① 均布載重合力：W = q × L = 400 N/m × 1.5 m = 600 N，作用於 AC 中點，方向垂直 AC 指向右下。
2. ② 合力分量（sin 60° ≈ 0.866 用於求水平分量，cos 60° = 0.5 用於求垂直分量）：Wx = 600 N × 0.866 = 519.6 N（向右）；Wy = 600 N × 0.5 = 300 N（向下）。
3. ③ 合力對 A 點力矩：W 垂直於 AC，力臂為中點到 A 的距離 1.5 m / 2，M_W = 600 N × 1.5 m / 2 = 450 N·m（順時針）。
4. ④ 幾何：C 點水平座標 1.5 m × 0.5 = 0.75 m，高度 1.5 m × 0.866 = 1.299 m；B 點水平座標 0.75 m + 1 m = 1.75 m，高度 1.299 m − 1 m = 0.299 m。
5. ⑤ B 點反力：設 Bx 向左、By 向上，大小同為 t。對 A 點取力矩，By 產生逆時針力矩 t × 1.75 m，向左的 Bx 作用在 A 點上方 0.299 m 處，也產生逆時針力矩 t × 0.299 m，合計力臂 1.75 m + 0.299 m = 2.049 m。ΣM_A = 0：t × 2.049 m = 450 N·m，t = 450 N·m / 2.049 m = 219.62 N。故 Bx = 219.62 N（向左）、By = 219.62 N（向上）。
6. ⑥ 水平力平衡 ΣFx = 0：Ax = 519.6 N − 219.62 N = 299.98 N（向左）。
7. ⑦ 垂直力平衡 ΣFy = 0：Ay = 300 N − 219.62 N = 80.38 N（向上）。

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