下圖之懸臂梁，端點 B 承受一集中載重 P，則 B 點之垂直位移為： PL2

本題考點

懸臂梁自由端受集中載重的端點撓度 δB = PL³/(3EI)，並分辨端點轉角 θB = PL²/(2EI) 與撓度的不同。

正解理由

依題圖，A 端固定、B 端自由，P 向下作用在 B 點，虛線為變形曲線。固定端彎矩 MA = PL，彎矩圖是由 A 的 PL 線性遞減到 B 的零的三角形。A 端切線水平，依彎矩面積法，B 點撓度等於 A、B 間 M/EI 圖面積對 B 點的一次矩：面積 = (1/2) × L × PL/EI = PL²/(2EI)，形心距 B 點 2L/3，δB = PL²/(2EI) × 2L/3 = PL³/(3EI)，故選 D。

逐項排除

1. (A)

   PL²/(2EI)：這是 B 點的轉角（M/EI 圖的面積本身），單位是弧度，不是位移；位移還要再乘上形心到 B 點的力臂。

2. (B)

   PL²/(3EI)：因次為 力 × 長度² ÷（力/長度² × 長度⁴）= 無因次，不是長度，不可能是位移；跨度應為三次方。

3. (C)

   PL³/(2EI)：等於把 M/EI 面積乘上整個跨長 L 當力臂；面積的一次矩要用形心距離 2L/3，不是 L，所以係數偏大。

4. (D)

   PL³/(3EI)：正解。面積 PL²/(2EI) 乘以形心距 2L/3。

演算步驟

1. ① 固定端彎矩：MA = P × L = PL（力 × 長度）。
2. ② M/EI 圖面積：(1/2) × L × PL/EI = PL²/(2EI)（弧度）＝ θB。
3. ③ 形心距 B：2L/3（長度）。
4. ④ δB = PL²/(2EI) × 2L/3 = (1/2) × (2/3) × PL³/EI = PL³/(3EI)（長度）。

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