下圖簡支梁之跨度為 L。已知材料之彈性係數為 E，梁斷面之慣性矩為 I。今於跨度中央處施加一集中荷重 P，則該梁於跨度中央處之撓度應為：

本題考點

簡支梁跨度中央受集中載重時的中點撓度公式 δ = PL³/(48EI)，可用彎矩面積法推導，並以因次檢核排除其他選項。

正解理由

依題圖，簡支梁左端鉸支、右端滾支，P 作用在跨度中央，兩端反力各 P/2，中點最大彎矩 Mmax = (P/2)(L/2) = PL/4。由對稱，中點切線水平；以彎矩面積法，支承 A 的轉角等於半跨 M/EI 圖面積 θA = (1/2)(L/2)(PL/4)/EI，中點撓度等於 A 點切線在中點的偏離量扣掉半跨 M/EI 面積對中點的一次矩：δ = θA × (L/2) − θA × (L/6) = θA × (L/2 − L/6)，整理得 δ = PL³/(48EI)，故選 D。

逐項排除

1. (A)

   PI/(48EL³)：撓度的單位必須是長度。PI/(EL³) 的因次為 力 × 長度⁴ ÷（力/長度² × 長度³）= 長度³，量綱不符；I 與 L³ 的位置寫反了，正確應為 L³ 在分子、I 在分母。

2. (B)

   PL/(48EI³)：因次為 力 × 長度 ÷（力/長度² × 長度¹²），不是長度；跨度的三次方與慣性矩的位置錯置。

3. (C)

   PE/(48IL³)：E 應在分母而放在分子，材料越硬撓度反而越大，與物理常識相反；因次也不是長度。正確是剛度 EI 越大撓度越小。

4. (D)

   PL³/(48EI)：正解。因次為 力 × 長度³ ÷（力/長度² × 長度⁴）= 長度。

演算步驟

1. ① 反力：RA = RB = P/2（力）；Mmax = (P/2) × (L/2) = PL/4（力 × 長度）。
2. ② θA = (1/2) × (L/2) × (PL/4)/EI（弧度）。
3. ③ δ中 = θA × (L/2 − L/6)（長度）。
4. ④ 係數：(1/2) × (1/2) × (1/4) × (1/2 − 1/6) = 1/48 → δ中 = PL³/(48EI)。

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