在圖中的門形構架，設梁為剛體（EI = ∞），而質量 m 集中於剛體梁上。若柱的 EI 值不變，但柱高由 h 增為 2 h，質量變成 m/2 時，其結構的振動週期將變為原結構的多少倍？ h

本題考點

單自由度系統的自然振動週期 T = 2π√(m / k)，以及剛體梁門架中柱的側向勁度與柱高三次方成反比（k ∝ EI / h³）。

正解理由

題目設梁為剛體（EI = ∞），質量 m 集中在梁上，依題圖兩柱柱腳為固定端，因此柱頂不能轉動、只能側移，整座門架可視為單自由度系統。此時每根柱的側向勁度與 EI / h³ 成正比（比例係數由柱兩端皆不轉動的邊界條件決定，為定值），兩柱並聯，總勁度 k 仍與 EI / h³ 成正比。柱高由 h 增為 2h，EI 不變，h³ 變為原來的 2 × 2 × 2 = 8 倍，勁度變為原來的 1/8；質量變為 m/2，即原來的 0.5 倍。週期平方與 m / k 成正比，所以週期平方比 = 0.5 × 8 = 4，週期比為 4 的平方根 2，振動週期變為原結構的 2 倍，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   1.414：小於正確結果。勁度降為 1/8 使週期放大的效果，大於質量減半使週期縮短的效果，兩者合併後週期比為 2，不是 1.414。

2. (B)

   2：正確。週期平方比 = 質量比 0.5 × 勁度反比 8 = 4，開平方得 2，符合題目所問。

3. (C)

   2.828：大於正確結果。質量由 m 減為 m/2 會讓週期變短，合併計算後的週期比應為 2，比 2.828 小。

4. (D)

   4：4 是週期「平方」的比值（0.5 × 8 = 4），尚未開平方。週期與 √(m / k) 成正比，不是與 m / k 成正比，必須再開平方才得到週期比 2。

演算步驟

1. 1. 公式：T = 2π√(m / k)，柱的側向勁度 k ∝ EI / h³。
2. 2. 勁度比：k₂ / k₁ = (EI / (2h)³) ÷ (EI / h³) = 1 / 8，即 k₁ / k₂ = 2 × 2 × 2 = 8。
3. 3. 質量比：m₂ / m₁ = (m/2) ÷ m = 0.5。
4. 4. 週期平方比：(T₂ / T₁)² = (m₂ / m₁) × (k₁ / k₂) = 0.5 × 8 = 4。
5. 5. 週期比：T₂ / T₁ = √4 = 2（因 2 × 2 = 4）。

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