一桁架之載重及桿件尺寸如圖所示，每根桿件之軸向剛度（AE）值均相同，此桁架於 A 點之水平變位△為何？ 4P 3L 4L

本題考點

以單位載重法（虛功法）求靜定桁架的節點變位，公式為 Δ = Σ（F × f × L）/ AE，其中 F 為實際載重下的桿力、f 為單位虛載重下的桿力。

正解理由

依題圖，B 為鉸支承、C 為滾支承，AC 為垂直桿、長 3L，BC 為水平桿、長 4L，AB 為斜桿，水平力 4P 向右作用於 A 點。斜桿長度由直角三角形求得：3 × 3 + 4 × 4 = 25，AB = 5L。先以節點法求實際桿力 F：A 節點水平方向只有 AB 有分量，AB 的水平分量要抵消 4P，F_AB = 4P × 5/4 = 5P（張力）；垂直方向 AC 要抵消 AB 的垂直分量，F_AC = 4P × 3/4 = 3P（壓力）。

C 節點為滾支承，只提供垂直反力，BC 是該節點唯一的水平桿，水平平衡使 BC 桿力為零。再於 A 點施加水平向右的單位虛載重，因為它與實際載重同點同向，各桿虛力等於實際桿力除以 4P：f_AB = 5/4 = 1.25（張力）、f_AC = 3/4 = 0.75（壓力）、f_BC 為零。代入公式：AB 項 5P × 1.25 × 5L = 31.25 PL；AC 項為壓力乘壓力，乘積為正，3P × 0.75 × 3L = 6.75 PL；

BC 項為零。合計 31.25 PL + 6.75 PL = 38 PL，除以 AE 得 Δ = 38 PL/AE，結果為正，表示 A 點水平變位與單位載重同向、向右。故選 B。

逐項排除

1. (A)

   錯誤。19 PL/AE 只有正確值 38 PL/AE 的一半，量值不符；正確應為 38 PL/AE。

2. (B)

   正確。AB 與 AC 兩桿的 F × f × L 合計 38 PL，除以 AE 即為所求，與選項相符。

3. (C)

   錯誤。57 PL/AE 為正確值的一倍半，量值偏大；正確應為 38 PL/AE。

4. (D)

   錯誤。76 PL/AE 為正確值的兩倍，量值偏大；正確應為 38 PL/AE。

演算步驟

1. 一、幾何：AB 長度平方 = 3 × 3 + 4 × 4 = 25（單位 L 的平方），AB = 25 / 5 = 5，即 AB = 5L。
2. 二、反力（驗算用）：B 點水平反力 4P 向左；對 B 點取力矩，Cy × 4L = 4P × 3L，Cy = 4P × 3 / 4 = 3P（向上），B 點垂直反力 3P 向下。
3. 三、實際桿力 F（A 節點）：水平平衡 F_AB × 4/5 = 4P，F_AB = 4P × 5 / 4 = 5P（張力）；垂直平衡 F_AC = F_AB × 3/5 = 4P × 3 / 4 = 3P（壓力）；C 節點水平平衡，F_BC 為零。
4. 四、虛桿力 f（A 點水平單位載重）：f_AB = 5 / 4 = 1.25（張力）；f_AC = 3 / 4 = 0.75（壓力）；f_BC 為零。
5. 五、各桿 F × f × L：AB = 5P × 1.25 × 5L = 31.25 PL；AC = 3P × 0.75 × 3L = 6.75 PL；BC 不貢獻。
6. 六、Δ = （31.25 PL + 6.75 PL）/ AE = 38 PL/AE（向右）。

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