如圖所示的三鉸式剛架，A、E 為鉸支承，C 為鉸接，B、D 為剛接。則有關 A 點之水平反力 Ax、垂直反力 Ay 以及 E 點之水平反力 Ex、垂直反力 Ey 之敘述，何者正確？ 3m 3m 3m

本題考點

三鉸剛架在對稱垂直均布載重下的支承反力。兩端鉸支承共有 4 個反力未知數，靜力平衡只提供 3 條方程式，補足的那一條方程式來自中間鉸接 C 點「彎矩為零」的條件；正因為有這條條件，三鉸剛架在只受垂直載重時，兩支承仍會產生向內的水平推力。

正解理由

依題圖所示，梁 BD 全跨承受 6 kN/m 的向下均布載重，跨度為 3 m + 3 m = 6 m，柱高 3 m。第一步求垂直反力：總載重 = 6 kN/m × 6 m = 36 kN；對 E 點取力矩，Ay × 6 m = 36 kN × 3 m，得 Ay = 18 kN（↑）；再由垂直力平衡 Ay + Ey = 36 kN，得 Ey = 18 kN（↑）。結構與載重左右對稱，兩支承各分擔一半，與此結果一致。第二步求水平反力：從鉸接 C 切開，取左半部 A–B–C 為自由體，C 點彎矩為零。

對 C 取力矩，Ay 的力臂是水平距離 3 m，產生 18 kN × 3 m = 54 kN·m；左半跨載重為 6 kN/m × 3 m = 18 kN，作用於距 C 點 3 m / 2 處，產生 6 × 3 × 3 / 2 = 27 kN·m，方向與前者相反；Ax 的力臂是柱高 3 m。由 ΣMc = 0：18 × 3 − 27 − Ax × 3 = 0，得 Ax = 27 kN·m ÷ 3 m = 9 kN，方向向右（→，指向結構內側）。最後由水平力平衡 Ax − Ex = 0，得 Ex = 9 kN，方向向左（←），兩支承的水平推力大小相等、方向相反，互相抵銷。

四個反力為 Ax = 9 kN（→）、Ay = 18 kN（↑）、Ex = 9 kN（←）、Ey = 18 kN（↑），與 (C) 完全相符，故選 C。

逐項排除

1. (A)

   錯誤，兩處不符。其一，垂直反力寫成 3 kN，而總載重 36 kN 須由兩支承共同承擔，每端應為 18 kN，3 kN 遠小於正確值，代回 ΣFy 也無法平衡；其二，水平反力寫成 0，但三鉸剛架在垂直載重下必有水平推力，正確值為 Ax = 9 kN（→）、Ex = 9 kN（←）。

2. (B)

   錯誤。垂直反力 Ay = Ey = 18 kN（↑）是對的，但水平反力寫成 0。若 Ax = 0，對 C 點取左半部力矩只剩 54 kN·m 與 27 kN·m 兩項，相減不為零，C 點彎矩為零的條件無法成立；要滿足這個條件，兩支承必須各提供 9 kN 指向內側的水平力。

3. (C)

   正確。四個反力的大小與方向均與平衡計算結果相符：垂直反力各 18 kN 向上，水平反力各 9 kN 且都指向結構內側（A 點向右、E 點向左）。

4. (D)

   錯誤。垂直反力 18 kN（↑）與水平反力的方向（A 向右、E 向左）都對，但水平反力大小寫成 18 kN，是正確值 9 kN 的兩倍。代回左半部對 C 取力矩：54 − 27 − 18 × 3 ≠ 0，C 點彎矩不為零，違反鉸接條件；正確大小應為 9 kN。

記憶點