下圖框架之 A 點彎矩為何？ D 1 1 1 1

本題考點

懸臂剛架固定端彎矩——集中力與三角形分布載重各自對固定端取力矩，再判斷方向相加。

正解理由

依題圖，A 為固定端，柱 AB 高 L，梁 BC 長 L，梁上作用三角形分布載重，在 B 端強度為 q、往 C 端遞減為 0；C 端再向下懸掛 CD 段（長 L/2），D 點受向下集中力 P。P 為垂直力，對 A 點的力臂是它到 A 的水平距離 L，CD 段的長度不影響力臂，力矩為 PL。三角形分布載重的合力為 qL/2，作用在形心，即距最大強度端 B 點 L/3 處，到 A 的水平距離也是 L/3，力矩為 (qL/2) × (L/3) = qL²/6。兩者都是向下的力、都位在 A 的同一側，力矩方向相同，固定端彎矩為 PL + qL²/6。故選 D。

逐項排除

1. (A)

   不符。(1/2)qL² 是均布載重 q 作用全長 L 時的力矩，且把它寫成相減；本題是三角形載重，合力只有 qL/2，而且與 P 同向應相加。

2. (B)

   不符。符號錯誤：三角形載重與 P 都向下、都在 A 的右側，對 A 的力矩方向相同，應相加而非相減；數值也不是 (1/4)qL²。

3. (C)

   不符。符號正確，但 (1/4)qL² 是把三角形合力 qL/2 放在梁中點 L/2 處所得；三角形載重的合力作用在形心，距大端 L/3，應為 (1/6)qL²。

4. (D)

   符合。PL + (qL/2) × (L/3) = PL + (1/6)qL²。

演算步驟

1. 1. 集中力 P：力臂為水平距離 L，M_P = P × L = PL。
2. 2. 三角形載重合力：W = (1/2) × q × L = qL/2。
3. 3. 合力位置：距大端 B 點 L/3，對 A 的力臂 L/3。
4. 4. M_q = (qL/2) × (L/3) = qL²/6。
5. 5. 兩者同向相加：M_A = PL + qL²/6。
6. （以 P = 1、q = 1、L = 1 代入：1 × 1 + 1 × 1 / 2 × 1 / 3 = 1.1667；若誤把合力放在中點則為 1 × 1 + 1 × 1 / 2 × 1 / 2 = 1.25。）

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