在圖示之三鉸拱結構中，A 點之水平反力為何？ 6P L A L L L

本題考點

三鉸拱（三鉸剛架）的支承反力。兩端鉸支承共有四個未知反力，整體靜力平衡只提供三個方程式，必須再加上「中間鉸接點彎矩為零」的條件，才能解出水平反力。

正解理由

依題圖所示，左支承 A 與右支承（以下稱 B）都是鉸支承且同高，跨度為 L + L + L = 3L，柱高 L；頂梁上的鉸接點（以下稱 C）距 A 水平 L，集中載重 6P 作用在距 A 水平 2L 處。先取整體對 A 取彎矩：B 的垂直反力 × 3L = 6P × 2L，得 B 的垂直反力為 4P；再由垂直力平衡，A 的垂直反力 = 6P − 4P = 2P（向上）。接著取鉸接點 C 左側的自由體（A 柱與左段頂梁），這一段沒有外加載重，鉸接點不能傳遞彎矩，對 C 取彎矩必須為零：A 的垂直反力對 C 的力臂是水平距離 L，A 的水平反力對 C 的力臂是垂直距離 L，兩者轉向相反、必須互相抵消，所以 A 的水平反力 × L = 2P × L，A 的水平反力 = 2P，方向指向跨內。故選 C。

逐項排除

1. (A)

   3P：不符合題目所問。若把載重當成作用在跨中、由兩支承平分，A 的垂直反力會變成 6P / 2 = 3P，再由 C 點彎矩為零得水平反力 3P；但題圖的載重位在距 A 為 2L 處，靠近 B，A 只分到 2P 的垂直反力，水平反力應為 2P。

2. (B)

   3P/2：不符合題目所問。代回左段對 C 的彎矩平衡檢查：水平反力若為 3P/2，其對 C 的彎矩為 3PL/2，而垂直反力 2P 對 C 的彎矩為 2PL，兩者不相等，C 點彎矩不為零，違反鉸接條件；數值比正確值 2P 小。

3. (C)

   2P：符合題目所問。由整體平衡得 A 的垂直反力 2P，再由 C 點彎矩為零，水平力臂與垂直力臂都是 L，水平反力等於垂直反力 2P；以右段驗算也得 B 的水平反力 2P，與水平力平衡一致。

4. (D)

   P：不符合題目所問。代回左段對 C 的彎矩平衡：水平反力 P 對 C 的彎矩只有 PL，抵消不了垂直反力 2P 造成的 2PL，C 點彎矩不為零；數值只有正確值 2P 的一半。

演算步驟

1. 整體對 A 取彎矩 ΣM_A = 0：B_y × 3L = 6P × 2L → B_y = 6P × 2L / 3L = 4P
2. 垂直力平衡 ΣF_y = 0：A_y = 6P − 4P = 2P
3. 左段對鉸接點 C 取彎矩 ΣM_C = 0：A_x × L = A_y × L → A_x = 2P × L / L = 2P
4. 驗算（右段對 C 取彎矩）：B_x × L = B_y × 2L − 6P × L = 4P × 2L − 6P × L = 2PL → B_x = 2P；水平力平衡 ΣF_x = 0 要求 A_x = B_x，兩者一致。

記憶點