下圖門形構架在 B 點承受一水平載重 P，則下列何處有最大彎矩值？

本題考點

靜不定門形構架受側向載重時的彎矩分布；固定端與鉸支端的束制差異，以及節點轉動如何削減柱頂彎矩。

正解理由

依題圖，A 為固定端、D 為鉸支承，兩柱與梁都是 E、I、L，P 水平作用在 B 點。以傾角變位法求解，令 k = EI/L、側移角 ψ = Δ/L。各桿端彎矩：M_AB = 2k(θB − 3ψ)、M_BA = 2k(2θB − 3ψ)、M_BC = 2k(2θB + θC)、M_CB = 2k(2θC + θB)、D 端為鉸，M_CD = 3k(θC − ψ)、M_DC = 0。B 節點平衡 2k(2θB − 3ψ) + 2k(2θB + θC) = 0 → 8θB + 2θC = 6ψ；

C 節點平衡 2k(2θC + θB) + 3k(θC − ψ) = 0 → 2θB + 7θC = 3ψ。聯立得 θB = 9ψ/13、θC = 3ψ/13。代回得彎矩大小比 A ：B ：C ：D = 60 ：42 ：30 ：0（以 kψ/13 為單位），再由柱剪力平衡 PL = 132kψ/13，M_A = 60PL/132 最大，故選 A。

逐項排除

1. (A)

   A 點：正解。固定端不能轉動，柱 AB 下端彎矩 M_AB = 2k(θB − 3ψ) 只被 θB 削減一次，是全構架最大值 60PL/132。

2. (B)

   B 點：柱頂 B 節點會順著側移方向轉動，M_BA = 2k(2θB − 3ψ) 被 θB 削減兩倍，大小 42PL/132，小於 A 點。

3. (C)

   C 點：C 節點連接下端為鉸的柱 CD，該柱側向勁度較低、分到的剪力較少，M_C = 30PL/132，小於 A 點。

4. (D)

   D 點：鉸支承不能傳遞彎矩，M_DC = 0，是全構架最小值。

演算步驟

1. ① 桿端彎矩式（k = EI/L、ψ = Δ/L）如上。
2. ② B 節點：8θB + 2θC = 6ψ；C 節點：2θB + 7θC = 3ψ → θB = 9ψ/13、θC = 3ψ/13（弧度）。
3. ③ |M_AB| = 2(3 − 9/13)kψ = 60kψ/13；|M_BA| = 2(3 − 18/13)kψ = 42kψ/13；|M_CD| = 3(1 − 3/13)kψ = 30kψ/13；M_DC = 0（力 × 長度）。
4. ④ 柱剪力和 = P：PL = (60 + 42 + 30)kψ/13 = 132kψ/13 → M_A = 60PL/132、M_B = 42PL/132、M_C = 30PL/132、M_D = 0。

記憶點