下圖所示結構中，支承 A 與 B 的反力大小為何？ 100 kN 45 kN C 4m A B 3m 3m

本題考點

三鉸拱的支承反力。依題圖所示，A、B 為鉸支承，拱頂 C 為鉸接點，集中載重 100 kN（向下）與 45 kN（水平向右）都作用在 C 點；以整體三條平衡方程式加上「C 點彎矩為零」的鉸接條件，求出四個反力分量，再合成為反力大小。

正解理由

三鉸拱有四個未知反力分量（A、B 各有水平與垂直分力），整體平衡只提供三條方程式，第四條由 C 鉸接點彎矩為零補足，因此為靜定結構。先對 A 取彎矩求 B 點垂直分力為 80 kN，由垂直力平衡得 A 點垂直分力為 20 kN；再取 C 右半部對 C 取彎矩，得 B 點水平分力 60 kN（向左），由水平力平衡得 A 點水平分力 15 kN（向右）。合成後 RA = 25 kN、RB = 100 kN，與選項 (B) 相同，故選 B。

逐項排除

1. (A)

   RA = 20 kN、RB = 75 kN：兩個數值都與正確結果不符。正確的 RA 是水平分力 15 kN 與垂直分力 20 kN 的合力 25 kN，RB 是水平分力 60 kN 與垂直分力 80 kN 的合力 100 kN；本選項兩者都偏小，改成 RA = 25 kN、RB = 100 kN 才對。

2. (B)

   RA = 25 kN、RB = 100 kN：由整體平衡與 C 鉸接條件求出的反力合成結果完全相符，為正解。

3. (C)

   RA = 15 kN、RB = 80 kN：兩個數值都比正確的反力大小小。反力大小必須把同一支承的水平與垂直分力合成，合力一定大於任一分力；正確值為 RA = 25 kN、RB = 100 kN。

4. (D)

   RA = 50 kN、RB = 100 kN：RB 正確，但 RA 明顯大於正確值 25 kN，不符。另可用整體平衡反檢：A、B 兩點垂直分力之和必須等於 100 kN，水平分力之差必須等於 45 kN，RA 為 50 kN 時無法同時滿足這兩個條件與 C 點彎矩為零。

演算步驟

1. ① 跨度：L = 3 m + 3 m = 6 m。
2. ② 對 A 取彎矩（逆時針為正），求 B 點垂直分力 RBy：100 kN 對 A 的彎矩 = 100 kN × 3 m = 300 kN·m；45 kN 作用在 C 點、距 A 高 4 m，彎矩 = 45 kN × 4 m = 180 kN·m；兩者同為順時針，合計 300 kN·m + 180 kN·m = 480 kN·m。RBy × 6 m = 480 kN·m，RBy = 480 kN·m ÷ 6 m = 80 kN（向上）。
3. ③ 垂直力平衡：RAy = 100 kN − 80 kN = 20 kN（向上）。
4. ④ 取 C 右半部（CB 段）對 C 取彎矩為零：B 點在 C 的右方 3 m、下方 4 m。RBy 對 C 的彎矩 = 80 kN × 3 m = 240 kN·m，須由 B 點水平分力 RBx 平衡：RBx × 4 m = 240 kN·m，RBx = 240 kN·m ÷ 4 m = 60 kN（向左）。
5. ⑤ 水平力平衡：向右的 45 kN 與 RAx 之和等於向左的 60 kN，RAx = 60 kN − 45 kN = 15 kN（向右）。
6. ⑥ 檢核左半部（AC 段）對 C 的彎矩：RAy 產生 20 kN × 3 m = 60 kN·m，RAx 產生 15 kN × 4 m = 60 kN·m，兩者方向相反互相抵銷，C 點彎矩為零，成立。
7. ⑦ 合成反力大小：RA² = 15 × 15 + 20 × 20 = 225 + 400 = 625（kN²），RA = 625 ÷ 25 = 25 kN；RB² = 60 × 60 + 80 × 80 = 3600 + 6400 = 10000（kN²），RB = 10000 ÷ 100 = 100 kN。

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